Algorithmique – Suite, somme, formes récurrentes – Première

novembre 22nd, 2018

Category: Dérivées et Intégrales

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Exercice N°349 :

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel par :

{ u0 = 5,
{ un+1 = 2un – 3 si n ∈ N.

1) Calculer u1, u2, u2.

2) La suite un est-elle arithmétique ? géométrique ? ni l’un ni l’autre ? Justifier.

On considère l’algorithme suivant, écrit à l’aide du logiciel Algobox :

Algorithmique, suite, boucle pour, première, variable

3) Que calcule cet algorithme ?

Soit la suite (vn) définie pour n entier naturel par :
vn = un – 3

4) Calculer les termes v0, v1, v2 et v3.
Que peut-on conjecturer sur la suite (vn) ?

5) Démontrer que pour tout entier naturel n,
vn+1 = 2vn

6) Exprimer vn en fonction de n.

7) En déduire que pour tout entier naturel n :
un = 3 + 2n+1.

8)Le résultat affiché par l’algorithme précédent est-il confirmé ? Justifier.

On écrit l’algorithme suivant qui calcule la somme :
Sn = u0 + u1 + u2 + … + u10.

Algorithmique, suite, boucle pour, première, variable

9) Recopier et compléter sur votre copie la ligne 11 de l’algorithme.

10) Pour n entier naturel, démontrer que :
v0 + v1 + v2 + … + v10 = 2n+2 – 2.

11) En déduire que pour n entier naturel :
u0 + u1 + u2 + … + u10 = 2n+2 + 3n + 1.

12) Le résultat affiché par l’algorithme précédent est-il confirmé ? Justifier.

Bon courage,
Sylvain

Exercice précédent : Algorithmique – Suite, arithmétique, géométrique – Première

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