Corrigé

avril 13th, 2019

Category: Corrigé et Astuces

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Tout le corrigé :

1) Pour tracer les droites d’équations y = x
et y = 0.85x + 1.8, on choisit deux valeurs de x (ici 0 et 10) puis on calcule leurs images y. Cela donne deux points de coordonnées x et y que l’on place. On trace l’unique droite qui passe par ces deux points.

2) Partons du u0 et déterminons les autres termes par ricochet sur les deux droites. La droite y = 0.85x + 1.8 représente la suite un+1 = 0.85un + 1.8.

Droite y=x et droite de la suite récurrente avec premiers termes

3) Comme l’intersection des deux droites se fait pour x = 12, et que les segments des un semblent aller vers cette intersection, je conjecture que la limite de la suite est 12.

4) On a pour tout n entier naturel, vnn – 12.
On sait aussi que un+1 = 0,85*un + 1.8.

Pour prouver qu’une suite (vn) est géométrique, il faut arriver à :
Pour tout n entier naturel, vn+1 = q*vn, donc on écrit sur la feuille :

Pour tout n entier naturel,
vn+1 = un+1 – 12 (on fait appel à l’égalité entre vn et un)
= 0,85×un + 1.8 – 12 (on fait appel à l’égalité entre un+1 et un)
= 0,85×un – 10,2
= 0,85×( un – 10,2/0,85 ) (on factorise par le coefficient devant un)
= 0,85×( un – 10,2/0,85 )
= 0,85×( un – 12 )
= 0,85×vn (on refait appel à l’égalité entre un+1 et un dans l’autre sens)

Il existe un réel q réel (q = 0,85), tel que pour tout n entier naturel,
vn+1 = q×vn,
donc (vn) est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme v0
= u0 – 12
= 8 – 12
= -4.

5) Comme (vn) est géométrique, on utilise la formule explicite (qui dépend de n),
vn = vp×qn-p avec p = 0 comme on commence à 0.

Du coup, pour tout n, vn
= v0×qn = -4×0,85n.

Comme vn = un – 12,
alors un = vn + 12
= -4×0,85n + 12
= 12 – 4×0,85n.

6) Pour obtenir le sens de variation d’une suite, il faut déterminer le signe de
un+1 – un. S’il est positive, la suite est croissante. S’il est négatif, la suite est décroissante.

Pour tout n réel, un+1 – un
= 12 – 4×0,85n+1 – [12 – 4×0,85n] (on n’oublie pas les crochets après le « moins »)
= 12 – 4×0,85n+1 – 12 + 4×0,85n (les 12 s’annulent)
= – 4×0,85n+1 + 4×0,85n
= 4×0,85n – 4×0,85n+1
= 4×[ 0,85n – 0,85n+1 ] (on factorise par 4)
= 4×[ 0,85n – 0,85n × 0,85 ] (les puissances : an+1 = an × a1 = an × a)
= 4×[ 0,85n × 1 – 0,85n × 0,85 ]
= 4×[ 0,85n × (1 – 0,85) ] (on factorise par 0,85n)
= 4×[ 0,85n × 0,15 ].

4 est positif, 0,85n est positif, 0,15 est positif. D’après la règle des signes avec ce produit,
Pour tout n réel, un+1 – un > 0.
Donc la suite (un) est strictement croissante.

7) un = 12 – 4*0,85n
limn→+∞ 0,85n = 0 car 0 < 0,85 < 1,
Par produit, limn→+∞ 4×0,85n = 0 car 4*0,

Par somme, limn→+∞ (12 – 4×0,85n) = 0 car 12-0,

Donc la limite de la suite est 12.

8) On prend le nombre actuel d’abonnés un, on lui applique une baisse de 15% (coefficient multiplicateur de 0,85) donc on obtient 0,85×un.
Puis on ajoute 1800, soit 1,8 millier, cela donne 0,85×un + 1,8.
On obtient le nombre suivant d’abonnés qui est un+1.
Du coup, on a pour tout n entier naturel un+1 = 0,85*un + 1,8.
Sans oublier que u0 = 8, ce qui correspond au 8000 de 2008.
Cette situation peut donc être modélisée par la suite (un).

9) 2014, c’est 2008+6 soit 2008+n pour n=6.
Il faut donc calculer
u6 = 12 – 4×0,856 = 10,4914, soit un nombre d’abonnés de 10491 en 2014.

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