Corrigé

octobre 17th, 2019

Category: Corrigé et Astuces

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Tout le corrigé :

1) On cherche l’expression de l’aire d’un triangle DEF rectangle en E. Une expression, cela veut dire qu’on peut mettre des variables comme x à droite du égal ou alors des côtés.

Pour calculer l’aire d’un triangle, il faut utiliser la formule
(Base × Hauteur)/2.
Comme ici, les triangles sont rectangles, la hauteur est l’un des côtés adjacent à l’angle droit. On obtient donc comme formule
(Côté × Côté)/2.
Les côtés sont ceux près de l’angle droit. Ils s’appellent GE et EF uniquement dans cette question.

Donc Aire(GEF rectange en E) = (GE × EF)/2.

2) Pour calculer l’aire d’un triangle, il faut utiliser la formule
(Base × Hauteur)/2. Comme ici, les triangles sont rectangles, la hauteur est l’un des côtés adjacent à l’angle droit. On obtient donc comme formule
(Côté × Côté)/2. Les côtés sont ceux près de l’angle droit.

Dans les 4 triangles, l’un des deux côtés a comme longueur a. C’est a qu’il faut mettre dans la formule. Le rectangle ABCD a des côtés de longueur 5 et 7. De plus, on voit sur la figure que AM = BN = QD = CP = a.
Les seules inconnues sont MB, DP, NC et AQ. Ces segments sont des morceaux des côtés des rectangles auxquels on a enlevé la longueur a.
Donc, d’après le dessin,
MB = DP = 7 – a
et
AQ = NC = 5 – a.

En revenant à la formule de ces triangles rectangles, on obtient :
(QD × DP)/2 = (BM × BN)/2 = (a × (7-a))/2
et
(PC × NC)/2 = (AM × AQ)/2 = (a × (5-a))/2.

3) Pour arriver à l’équation voulue, une aire bizarre est souvent égale à l’aire totale – les aires qu’on enlève? Ici il faut faire l’aire du rectangle ABCD en enlevant les aires des quatre triangles :
Aire MNPQ =
Aire(Rectangle ABCD) – 2 × Aire(MBN/QPD) – 2 × Aire(AMQ/PNC).

Donc X = 7×5 – 2×(a × (7-a))/2 – 2×(a×(5-a))/2
= 35 – (a × (7-a)) – (a × (5-a))
= 35 – (7a – a2) – (5a – a2)
= 35 – 7a + a2 – 5a + a2
donc
X = 2a2 – 12a + 35.

4) Pour a = 1,
X = 2a2 – 12a + 35
= 2×12 – 12*1 + 35
= 2×1 – 12 + 35
= 2 – 12 + 35
= -10 + 35
= 25.
Pour a = 1, X = 25.

Pour a = 5/2,
X = 2a2 – 12a + 35
= 2×(5/2)2 – 12×(5/2) + 35
= 2×(52/22) – (12/1)×(5/2) + 35
= 2×(25/4) – ((12*5)/(1×2)) + 35
= (2/1)×(25/4) – (60/2) + 35
= ((2×25)/(1×4)) – 30 + 35
= (50/4) – 30 + 35
= 12.5 – 30 + 35
= -17.5 + 35
= 17.5.
Pour a = 5/2, X = 17.5.

5) On sait que X = 2a2 – 12a + 35.
On veut X = 17
soit 17 = 2a2 – 12a + 35
soit 17 – 17 = 2a2 – 12a + 35 – 17.
soit 0 = 2a2 – 12a + 18.

C’est un polynôme du second degré car il y a un a2.
Factorison par 2 car les coefficients sont paires
soit 0 = 2×a2 – 2×6×a + 2×9
soit 0 = 2×(a2 – 6a + 9).

Nous obtenons la forme développée de a2 – 2×a×b + b2 avec
a2 = a2 soit a = a ici,
b2 = 9 = 32 soit a = 3 ici,
et on a bien 2×a×b = 2×a×6 = 6a. On a bien la forme développée de la second identité remarquable.

La forme factorisée de a2 – 2×a×b + b2 est (a – b)2.
On peut donc passer de 0 = 2×(a2 – 6a + 9)
à 0 = 2×(a – 3)2 dans les deux sens
soit 0 = 2×(a – 3)×(a – 3).

Un produit de facteur est nul si au moins l’un des 3 facteurs est nul donc :
2 = 0 ou (a – 3) = 0 ou (a – 3) = 0.
Comme 2 ne peut pas être égal à 0, c’est forcément les (a – 3) qui le sont soit
(a – 3) = 0
soit a = 3.

Pour que l’aire X soit égale à 17 cm2, la longueur a doit être nécessairement de 3 et cela suffit.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

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