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Tout le corrigé :
1) a est l’abscisse du point, sa “largeur”.
Donc je prends 1 sur l’axe des abscisses.
f(a) est l’image, soit l’ordonnée du point, sa “hauteur”.
La courbe est en bas, donc je descends verticalement vers la courbe et je note l’ordonnée du point : c’est -4.
Donc f(1) = -4.
f ‘ (a) est la pente de la tangente de la courbe. On détermine la droite-tangente que l’on pose sur la courbe et on regarde le coefficient directeur.
Je prends le même point d’abscisse et je vois que la tangente est horizontale car on a un replat (un minimum ici) de la courbe. Donc le coefficient directeur vaut 0 car la tangente à Cf est parallèle à l’axe des abscisses (horizontale).
Donc f ‘ (1) = 0.
2) Quand la pente est positive, c’est-à-dire quand f ‘ (x) > 0, f est strictement croissante (et vice-versa).
Quand la pente est négative, c’est-à-dire quand f ‘ (x) < 0, f est strictement croissante (et vice-versa).
Quand f ‘ (x) = 0, on a un replat de Cf.
Grâce au graphique, on peut faire le tableau de variation de f, puis en déduire le signe de f ‘ (x).
Comme f ‘ (x) est négative et devient positive après l’abscisse x = 1, seule la courbe C1 convient.
3) On a f(x) = (x2 – 6x – 7)/(x + 2).
Donc f(x) = u(x)/v(x)
avec
u(x) = x2 – 6x – 7,
u ‘ (x) = 2x – 6 – 0,
v(x) = x + 2,
v ‘ (x) = 1 + 0.
La formule de la dérivée d’un quotient est :
Donc Numérateur = (2x – 6) × (x + 2) – [ (x2 – 6x – 7) × 1 ]
= 2x2 + 4x – 6x – 12 – x2 + 6x + 7
= x2 + 4x – 5
Donc f ‘ (x) = (x2 + 4x – 5)/(x + 2)2
4) Pour étudier les variations de f, on détermine le signe de f ‘ (x) dans un tableau de signe. Je mets ici une ligne pour le numérateur et une ligne pour le dénominateur.
Pour le signe de x2 + 4x – 5, comme c’est un polynôme du second degré, on calcule le discriminant.
Δ = b2 – 4ac
= 42 – 4 × 1 × (-5)
= 16 + 20 = 36 > 0 soit deux racines :
x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-4 – √36)/(2 × 1)
= (-4 – 6)/2
= -10/2
= -5
x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-4 + √36)/(2 × 1)
= (-4 + 6)/2
= 2/2
= 1
Un polynôme du second degré est du signe de a à l’extérieur des racines quand Δ > 0 car la parabole coupe deux fois l’axe des abscisses.
Comme a = 1 > 0, la parabole “sourit” et le polynôme du second degré est positif avant -5 et après 1. Il est négatif entre -5 et 1. Puis nul entre -5 et 1.
Pour le (x + 2)2, un carré est toujours positif ou nul. Ici, il est nul en -2. Comme la fonction n’est pas définie en -2, il sera ici toujours strictement positif : on met un + dans la ligne.
Cela donne le tableau suivant :
J’ai exclu l’abscisse -2 des lignes des tableaux de signe et variation. Il y a donc une double-barre à gauche.
Petit rappel pour la variation de f :
Quand la pente est positive, c’est-à-dire quand f ‘ (x) > 0, f est strictement croissante.
Quand la pente est négative, c’est-à-dire quand f ‘ (x) < 0, f est strictement decroissante.
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
