Exercice :
Tout le corrigé :
1) D’après la courbe, f est décroissante de -infini à 0 . Cela fait une flèche qui descend jusqu’à x = 0. En bas à droite de la flèche, mets la valeur de f(0) : -2,5. Ensuite, la courbe remonte donc f est croissante de 0 à +infini. La flèche du tableau de variation remonte vers la droite.
2) f'(0) est la pente la tangente à la courbe en x = 0. En x = 0, la tangente est horizontale donc sa pente est nulle et f'(0) = 0.
3) f'(x) = 0 quand la pente de la courbe (ou plutôt la pente de la tangente) est nulle, donc la courbe est horizontale (ou sa tangente). Oui, f'(x) représente une pente! Ici, la pente est horizontale en C et en B. Leurs abscisses x sont donc 0 et 6 : ce sont les solutions.
4) La tangente à la courbe Cf passant par A passe aussi par M. Pour avoir son équation (de droite), il faut déterminer son coefficient directeur avec a = (yM – yA)/(xM – xA) = (3 – 0)/(-3 -(-2))= 3/(-1) = -3. Prends y = ax + b et remplacer par des x et y que tu connais, par exemple xA et yA. Remplace aussi le coefficient directeur “a” par 3 : 0 = -3*(-2) + b. Tu obtiens b = -6. L’équation de la tangente est donc y = -3x – 6 et f'(-2), la pente de la tangente en x = -2, est -3.
5) Déjà, on doit trouver l’équation de la tangente à Cf au point D. On sait que son coefficient directeur est f'(2) = 3/4. En remplaçant dans l’équation y = ax + b par les coordonnées yD = -3/2 et xD = 2, ainsi que la pente 3/4, on obtient : -3/2 = 3/4 * 2 + b. Du coup, b = -3/2 – 3/2 = -3. L’équation de cette tangente est y = (3/4)x – 3. L’intersection avec l’axe des abcisses a lieue quand y = 0. Soit 0 = (3/4)x – 3. Cela donne x = 4.
6) C’est la courbe C2, car une fonction est décroissante quand sa dérivée est négative.
C’est le cas pour C2 qui est en dessous de l’axe y = zéro pour des x négatifs. De même, une fonction est croissante quand sa dérivée est positive.
C’est le cas pour C2 qui est au dessus de l’axe y = zéro pour des x positifs. De plus, C2 coupe l’axe des abscisses en 0 et 6, ce qui des tangentes horizontale pour Cf. Les autres coupes ne fonctionnent pas, elle ne sont pas négatives avant x = 0, puis positives après x = 0.
