Corrigé

avril 2nd, 2018

Category: Corrigé et Astuces

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Tout le corrigé :

1) Expressions de f1(x), f2(x) et f3(x) :

Ce sont les dépenses des forfaits 1, 2 et 3 en fonction du nombre de minutes hors-forfait qui vaut x. Ils correspondent au y dans les équations de droites :
y1, y2 et y3.

Le « bon sens de la vie courante » à propos des forfaits téléphoniques dit que le prix payé est fixe pour 2h de communication et qu’on additionne un coût par minute de communication supplémentaire hors-forfait.

Pour le forfait 1 d’après le tableau :
2h de forfait fixe : 30 euros,
1 minute supplémentaire : 0,25 euros.
Donc x minutes supplémentaires valent 0.25x euros.
Quand on additionne le prix fixe des 2h et les x minutes supplémentaires, cela donne la dépense du forfait 1,
f1(x) = 30 + 0,25x = 0,25x + 30.

Pour le forfait 2 d’après le tableau :
2h de forfait fixe : 15 euros,
1 minute supplémentaire : 0,75 euros.
Donc x minutes supplémentaires valent 0.75x euros.
Quand on additionne le prix fixe des 2h et les x minutes supplémentaires, cela donne la dépense du forfait 2,
f2(x) = 15 + 0,75x = 0,75x + 15.

Pour le forfait 3 d’après le tableau :
2h de forfait fixe : 20 euros,
1 minute supplémentaire : 0,5 euros.
Donc x minutes supplémentaires valent 0.5x euros.
Quand on additionne le prix fixe des 2h et les x minutes supplémentaires, cela donne la dépense du forfait 1,
f3(x) = 20 + 0,5x = 0,5x + 20.

2) Résoudre les équations :

On résout :
f1(x) = f2(x)
⇔ 0,25x + 30 = 0,75x + 15
⇔ 0,25x + 30 – 0,75x – 30 = 0,75x + 15 – 0,75x – 30
⇔ -0,50x = -15
⇔ x = (-15)/(-0,50)
⇔ x = 30.

On résout :
f2(x) = f3(x)
⇔ 0,75x + 15 = 0,5x + 20
⇔ 0,75x + 15 – 0,5x – 15 = 0,5x + 20 – 0,5x – 15
⇔ 0.25x = 5
⇔ x = 5/0.25
⇔ x = 20.

On résout :
f1(x) = f3(x).
⇔ 0,25x + 30 = 0,5x + 20
⇔ 0,25x + 30 – 0,5x – 30 = 0,5x + 20 – 0,5x – 30
⇔ -0,25x = -10
⇔ x = (-10)/(-0,25)
⇔ x = 40.

3) Tracer les droites :

La technique idéale pour tracer une droite sur un graphique est de placer deux points appartenant à la droite et de tracer la droite passant par ces deux points. Pour ce faire, il faut choisir pour chaque point l’abscisse que l’on veut puis calculer l’ordonnée avec l’équation de cette droite.

Pour la droite représentant le forfait 1, on prend l’équation
y = f1(x) = 0,25x + 30 et on choisit l’abscisse x = 60. L’ordonnée y correspondante vaut y = 0,25×60 + 30 = 15 + 30 = 45. Le point A(60 ; 45) est donc sur cette droite.

On peut prendre comme abscisse du second point x = 20, ce qui donne
y = 0.25×20 + 30 = 5 + 30 = 35. Ce point a pour coordonnées B(20 ; 35). On peut maintenant tracer la droite.

On vérifie que la droite passe par l’ordonnée à l’origine 30 soit le point (0 ; 30).

Pour la droite représentant le forfait 2, on prend l’équation
y = f2(x) = 0,75x + 15 et on choisit l’abscisse x = 60. L’ordonnée y correspondante vaut y = 0,75×60 + 15 = 45 + 15 = 60. Le point E(60 ; 60) est donc sur cette droite.

On peut prendre comme abscisse du second point x = 20, ce qui donne
y = 0.75×20 + 15 = 15 + 15 = 30. Ce point a pour coordonnées F(20 ; 30). On peut maintenant tracer la droite.

On vérifie que la droite passe par l’ordonnée à l’origine 30 soit le point (0 ; 15).

Pour la droite représentant le forfait 3, on prend l’équation
y = f3(x) = 0,5x + 20 et on choisit l’abscisse x = 60. L’ordonnée y correspondante vaut y = 0,5×60 + 20 = 30 + 20 = 50. Le point G(60 ; 50) est donc sur cette droite.

On peut prendre comme abscisse du second point x = 20, ce qui donne
y = 0.5×20 + 20 = 10 + 20 = 30. Ce point a pour coordonnées H(20 ; 30). On peut maintenant tracer la droite.

On vérifie que la droite passe par l’ordonnée à l’origine 20 soit le point (0 ; 20).

Voici les droites tracées :

Droites, fonctions, comparaison de forfaits téléphoniques, seconde

4) La courbe g représente le tarif le plus avantageux quelque soit le nombre de minutes hors forfait. Le tarif le plus avantageux est le tarif le « moins cher » qui est représenté par la droite la plus basse pour un nombre de minutes donnée.

Il faut donc partir de la gauche avec un crayon rouge et suivre jusqu’au bout les droites les plus basses. On doit changer de droites pour pouvoir représenter la fonction g car le tarif le plus bas change en fonction du nombre de minutes.

Oui une fonction n’est pas toujours définie par une seule expression mathématique. Ici l’expression de g(x) est définie par le minimum de f1(x), f2(x) et f3(x) selon les valeurs de x. Donc la courbe Cg est l’ensemble des segments de droites les plus bas.

Voici la courbe Cg en fluo rose :

Droites, fonctions, comparaison de forfaits téléphoniques, seconde

5) Pour ajouter 25 minutes et choisir la bonne formule, il faut partir de l’abscisse x = 25 sur l’axe des abscisses. Puis il faut remonter verticalement jusqu’à la courbe Cg. Voici la droite choisie en vert :

Droites, fonctions, comparaison de forfaits téléphoniques, seconde
On voit sur la courbe ci-dessus que pour l’abscisse x = 25, nous arrivons en Cg sur la portion de droite D3 qui réprensente la formule N°3. Cette personne doit donc choisir cette formule.

Bonne compréhension,
laisse un commentaire pour toute question ou incompréhension,
Sylvain Jeuland

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