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Tout le corrigé :
1) v1
= v0+1
= 3/( v0 + 1 )
= 3/( 2 + 1 )
= 3/3
= 1.
v2
= v1+1
= 3/( v1 + 1 )
= 3/( 1 + 1 )
= 3/2.
v2 = v2+1
= 3/( v2 + 1 )
= 3/( 3/2 + 1 )
= 3/( 3/2 + 2/2 )
= 3/( 5/2 )
= 3×( 2/5 )
= 6/5.
2) Avant d’essayer de prouver qu’une suite arithmétique (on ne sait pas vraiment si elle l’est ou non), l’idéal est de calculer les premières différences puis de les comparer :
v1 – v0 = 1 – 2 = -1,
v2 – v1 = 3/2 – 1 = 1/2.
Dès maintenant, on voit que v2 – v1 est différent de
v1 – v0 donc la suite (vn) n’est pas arithmétique car on ajoute pas le même à chaque fois pour passer d’un terme à un autre.
3) Ici nous avons une suite arithmétique avec u50 = 406 et u100 = 806. Mais nous n’avons pas u0.
Pour déterminer sa raison, on utilise la formule avec up :
Pour tout n, un = up + r × (n – p).
Prenons n le plus grand avec 100 et p le plus petit avec 50.
On obtient u100 = u50 + r × (100 – 50)
⇔ 806 = 406 + 50r
⇔ 806 – 406 = 50r
⇔ 400 = 50r
⇔ 8 = r.
La raison est 8.
Calculons u0 maintenant avec un = u0 + (n – 0) × 8, cela donne :
u100 = u0 + (100 – 0) × 8
⇔ 806 = u0 + 800
⇔ u0 = 806 – 800 = 6
On a donc pour tout n, un = 6 + 8n.
4) S = u50 + … + u100
= 6 + 8 × 50 + … + … + 6 + 8×100
= 6 + 6 + … + 6 + 8 × [ 50 + 51 + 52 + … + 100 ]
(Il y a 51 nombres 6 car de 50 à 100, il y a 51 termes)
= 51 × 6 + 8 × [ (50 + 0) + (50 + 1) + (50 + 2) + … + (50 + 50) ]
= 306 + 8 × [ 50 + 50 + … + 50 + 0 + 1 + 2 + 3 + … + 49 + 50 ]
(Il y a 51 nombres 50 car de 50 à 100, il y a 51 termes)
= 306 + 8 × [ 50 × 51 + 1 + 2 + 3 + … + 49 + 50 ]
D’après le cours, 1 + 2 + 3 + … + n = ( n × (n + 1) )/2,
donc jusqu’à cela donne ( 50 × 51 )/2 = 25 × 51.
= 306 + 8 × [ 50 × 51 + 25 × 51 ]
= 306 + 8 × [ 75 × 51 ]
= 306 + 6005 × 51
= 306 + 30600
= 30906
Sinon il y a la formule plus simple que je n’apprends jamais :
(nombre de terme)×(1er terme arithmétique + dernier terme)/2
= 51 × ( u50 + u100 )/2
= 51 × ( 406 + 806 )/2
= 51 × 1212/2
= 51 × 06
= 30906.
5) 1 + 2 + … + 2009 + 2010 = ( n × (n + 1) )/2 avec n = 2010.
= ( 2010 × 2011 )/2
= 1005 × 2011
= (1000 + 5) × 2011
= 1000 × 2011 + 5 × 2011
= 2011000 + 10055
= 2021055
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
