Corrigé

mai 22nd, 2018

Category: Corrigé et Astuces

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Tout le corrigé :

1) La dérivée de eu(x) est u ‘ (x)×eu(x).
Cela veut dire qu’on dérive ce qu’il y a en haut de l’exponentielle puis on la place devant en coefficient multiplicateur.

La dérivée de x est 1. Donc ex se dérive en 1×ex.

La dérivée de 2x est 2. Donc e2x se dérive en 2×e2x.

On a f(x) = 2×ex – e2x.

Donc f ‘ (x) = 2×1×ex – 2×e2x
= 2ex – 2e2x

2) On doit partir de notre forme développée (avec un « moins » au milieu) vers une forme factorisée avec un produit de deux facteurs, qui sont 2e2x et la parenthèse (1 – ex).

Tout d’abord, e2x = (ex)2.

Pour prouver une égalité, il est pratique de partir d’un côté du « égal » et arriver à l’autre membre de l’autre côté du « égal ». Développons le membre de droite pour retrouver celui de gauche (sans écrire f ‘ (x)).

2×ex(1 – ex)
= 2×ex×1 – 2×ex×ex
= 2×ex – 2×(ex)2.
= 2×ex – 2×e2x
= f ‘ (x)

d’après la dérivée de la question 1).

On a bien f ‘ (x) = 2×ex(1 – ex).

3) Pour obtenir les variations de la fonction f sur R, étudions le signe de f ‘ (x). Pour cela, on utilise la forme factorisée pour faire le tableau de signe suivant.

Nous dévons résoudre l’inéquation 1 – ex ≥ 0 pour déterminer pour quelles valeurs de x cette expression est positive, on pourra mettre un + pour ces valeurs de x.
1 – ex ≥ 0
⇔ -ex ≥ -1
⇔ ex ≤ 1
(On change le sens de l’inégalité car on divise par le nombre négatif -1 de chaque côté.)
⇔ ex ≤ e0
⇔ x ≤ 0
(car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.)
⇔ x ∈ ]-∞ ; 0]
Soit x à gauche de zéro. On met donc le + à gauche de la valeur x = 0 dans le tableau de signe.

Voici le tableau de signe de f ‘ (x) puis le tableau de variation de f :

Exponentielle, fonction, dérivée, factorisation première

5) La dérivée de eu(x) est u ‘ (x)×eu(x).
Cela veut dire qu’on dérive ce qu’il y a en haut de l’exponentielle puis on la place devant en coefficient multiplicateur.

La dérivée de x est 1. Donc ex se dérive en 1×ex.

La dérivée de 3x est 3. Donc e3x se dérive en 3×e3x.

On a g(x) = 3×ex – e3x.

Donc g ‘ (x) = 2-3×1×ex – 2-3×e2-3x
= 3ex – 3e3x

6) On doit partir de notre forme développée (avec un « moins » au milieu) vers une forme factorisée avec un produit de deux facteurs, qui sont 3e3x et la parenthèse (1 – ex).

Tout d’abord, e3x = (ex)3.

Pour prouver une égalité, il est pratique de partir d’un côté du « égal » et arriver à l’autre membre de l’autre côté du « égal ». Développons le membre de droite pour retrouver celui de gauche (sans écrire g ‘ (x)).

3×ex(1 – ex)
= 3×ex×1 – 3×ex×ex
= 3×ex – 3×(ex)3.
= 3×ex – 3×e2x
= g ‘ (x)

d’après la dérivée de la question 1).

On a bien g ‘ (x) = 3×ex(1 – ex).

7) Pour obtenir les variations de la fonction g sur R, étudions le signe de g ‘ (x). Pour cela, on utilise la forme factorisée pour faire le tableau de signe suivant.

Nous dévons résoudre l’inéquation 1 – e2x ≥ 0 pour déterminer pour quelles valeurs de x cette expression est positive, on pourra mettre un + pour ces valeurs de x.
1 – e2x ≥ 0
⇔ -e2x ≥ -1
⇔ e2x ≤ 1
(on change le sens de l’inégalité car on divise par le nombre négatif -1 de chaque côté)
⇔ e2x ≤ e0
⇔ 2x ≤ 0
(car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R.)
⇔ x ≤ 0 (On ne change pas le sens de l’inégalité quand on divise par un nombre positif (ici 2) de chaque côté.)
⇔ x ∈ ]-∞ ; 0]
Soit x à gauche de zéro. On met donc le + à gauche de la valeur x = 0 dans le tableau de signe.

Voici le tableau de signe de g ‘ (x) puis le tableau de variation de g :

Exponentielle, fonction, dérivée, factorisation première

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

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