Corrigé

février 7th, 2020

Category: Corrigé et Astuces

Exercice : Clic droit sur l’exercice

Tout le corrigé :

1) Pour obtenir la valeur estimée du taux en 2009, on voit que la petite croix sur le graphique au dessus de l’abscisse 9 correspond à 2009, donc on calcule f(9).
f(9) = −0,04 × 93 + 0,68 × 92 − 0,06 × 9 + 51,4
= 76.78.

2) Pour calculer un pourcentage d’erreur, on utilise la formule suivante :
[(ValeurMesurée – ValeurEstimée)/(ValeurMesurée)] × 100
= [(75.7 – 76.78)/(75.7)] × 100
= [(– 1.08)/(75.7)] × 100
= -1.427 environ.

Le pourcentage d’erreur est de 1.43%.

3) On a f(x) = −0,04x3 + 0,68x2 − 0,06x + 51,4 donc

f'(x) = −0,04 × 3x2 + 0,68 × 2x − 0,06 × 1 + 0
= −0,12x2 + 1,36x – 0,06

Pour obtenir les variations de f, on a besoin du signe de f ‘ (x).

C’est un polynôme du second degré.
Δ = b2 – 4ac
= 1.362 – 4 × (-0,12) × (-0,06)
= 1.8496 – 0.0288
= 1.8208 > 0
donc ce polynôme a deux racines réelles.

x1 = (-b – √Δ)/(2a)
= (-1.36 – √1.8208)/(2(−0,12))
= 11.289 environ

x2 = (-b + √Δ)/(2a)
= (-1.36 + √1.8208)/(2(−0,12))
= 0.0443 environ

On obtient le tableau de signe de f ‘ (x) et de variation de f suivant :

signe dérivée second degré variation fonction

Je vais de -∞ à +∞ pour faire le signe du polynôme du second degré, puis je coupe à 0 et 11 pour coller au domaine de définition. Je calcule aussi f(0), le minimum, puis f(11).

4) On a f ‘ (x) = −0,12x2 + 1,36x – 0,06
donc
f’ ‘ (x) = −0,12 × 2x + 1.36 + 0
= -0.24x + 1.36
.

Pour obtenir la convexité de f, on a besoin du signe de f ‘ ‘ (x) (on peut intercaler les variations de f ‘).

On met un + dans la ligne de -0.24x + 1.36
⇔ -0.24x + 1.36 ≥ 0
⇔ -0.24x ≥ -1.36
-0.24x/(-0.24)-1.36/(-0.24)
⇔ x ≤ 17/3
à gauche de 17/3

On met donc le + à gauche dans la ligne de -0.24x + 1.36.

On obtient le tableau de signe de f ‘ ‘( x), de variation de f ‘, de convexité de f suivant :
convexité fonction signe dérivée seconde variation dérivée

5) D’après le tableau de convexité de f, f passe de convexe à concave au point d’abscisse 17/3. Donc f admet un point d’inflexion en cette abscisse.

L’équation d’une tangente à courbe Cf au point d’abscisse a est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Je vais calculer les valeurs approchées de f(17/3) et de f ‘ (17/3).

f(17/3) = 65.617

f ‘ (17/3) = 3.793

Donc y = 3.793 × (x – 17/3) + 65.617
y = 3.793x – 3.793 × 17/3 + 65.617
y = 3.793x + 44.123

C’est l’équation de la tangente au point d’inflexion avec des valeurs approchées.

6) Comme la fonction passe de convexe à concave en ce point d’inflexion, cette tangente est en dessous de C avant 17/3, puis au dessus de C après 17/3.

Je trace ci-dessous la courbe et la tangente pour x allant de 0 à 11 (carreaux de 1 en 1) et y allant de 0 à 90 (carreaux de 10 en 10).

courbe tangente point inflexion

Graphsketch.com

7) La diminution du rythme de croissance du taux d’endettement, c’est quand la fonction passe de convexe à concave, c’est à dire au niveau du point d’inflexion, que le rythme de croissance commence à diminuer. Pour 17/3, soit 5+(2/3). C’est à partir des deux-tiers de 2005 que ce rythme diminue.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Ecris le premier commentaire


Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *