frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

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Tout le corrigé :

Dans cet exercice de variation, on ne passera pas par la dérivation car en général, les élèves n’ont pas vu ce chapitre à ce moment là.

Cours :

Pour étudier les variations de f, on doit prendre a < b et comparer f(a) et f(b).

Si on a f(a) < f(b), la fonction est strictement croissante (on garde le “<“).

Si on a f(a) ≤ f(b), la fonction est juste croissante (on garde le sens de l’inégalité).

Si on a f(a) > f(b), la fonction est strictement décroissante (on passe à “>”).

Si on a f(a) ≥ f(b), la fonction est strictement décroissante (on change le sens de l’inégalité).

Corrigé des questions :

1) Sur I = [-7 ; -1] avec
u(x) = ¹/_x
et
v(x) = ^-8/_x.

Une fonction de type fraction est définie quand son dénominateur est différent de 0. Ici le dénominateur est “x” et il doit être différent de 0. Donc c’est bon sur I = [-7 ; -1].

Partons de a < b :

On a donc -1 ≤ a < b ≤ -7

En passant à l’inverse :

¹/_(-1) ≥ ¹/_a > ¹/_b ≥ ¹/_(-7)

Le sens de l’inégalité change car la fonction “inverse” est strictement décroissante.

On obtient u(a) > u(b).

Pour tout a et b de l’intervalle I, a < b donne u(a) > u(b),
donc la fonction u est strictement décroissante.

Pour v, on reprend l’inégalité précédente :

-1 ≥ ¹/_a > ¹/_b ≥ –¹/₇
+8 ≤ ^(-8)/_a < ^(-8)/_b ≤ +⁸/₇

On obtient v(a) < v(b).

Pour tout a et b de l’intervalle I, a < b donne v(a) < v(b),
donc la fonction v est strictement croissante.

2) Sur I =]-1 ; 0] avec
u(x) = -2x + 5
et
v(x) = √(-2x + 5).

u est une fonction affine dont le coefficient directeur -2 est négatif. Donc u est décroissante.

v est du type racine, il faut donc que l’intérieur soit positif ou nul. Du coup, on fait le tableau de signe du contenu -2x + 5.

-2x + 5 ≥ 0
⇔ -2x ≥ -5
⇔ x ≤ ⁵/₂
(on change le sens des inégalités car on divise par le nombre négatif -2)

Comme a = -2 < 0, la courbe descend, donc la fonction u est d’abord positive puis négative. Donc elle est positive avant 2,5. Comme son contenu est positif, la racine existe donc pour x appartenant à ]-1 ; 0] donc la fonciton v est bien définie.

Pour tout a et b tels que -1 ≤ a < b ≤ 0 :

On a u(-1) ≥ u(a) > u(b) ≥ u(0)
(Changement du sens des inégalités car u est décroissante)

√u(-1) ≥ √u(a) > √u(b) ≥ √u(0)
car la fonction “racine” est strictement croissante pour les réels positifs ou nuls donc on ne change pas le sens des inégalités.

v(-1) ≥ v(a) > v(b) ≥ v(0)

Pour tout a et b de l’intervalle I, a < b donne v(a) > v(b),
donc la fonction v est strictement décroissante (car le sens de l’inégalité a changé)).

3) I = [-5 ; -2] avec
u(x) = x^² – 2
et
v(x) = ¹/_{(x^² – 2)}.

u est une fonction polynôme donc définie sur R.

Comme on divise par u(x) pour obtenir la fraction v(x), il faut que u(x) soit différent de 0 sur l’intervalle [-5 ; -2].

Pour cela, on fait un Δ = b² – 4ac = 8,
x1 = -√2 (environ égal à 1,41).
et x2 = √2 (environ égal à -1,41).
On voit que ces racines ne sont pas dans l’intervalle [-5 ; -2].

Comme on ne divise pas par 0, v est bien définie sur I = [-5 ; -2].

Pour la variation, on prend a et b appartenant à I tel que a < b :

On part de : -5 ≤ a < b ≤ -2

(-5)² ≥ a² > b² ≥ (-2)²
(on change les sens car la fonction “carré” est décroissante sur ]-∞ ; 0]).

25 – 2 ≥ a² – 2 > b² – 2 ≥ 2

A partir de a < b, on obtient donc au milieu u(a) > u(b)
donc u est strictement décroissante sur I car le sens de l’inégalité a changé.

Comme on doit passer par l’inverse pour obtenir v, v devient strictement croissante car “inverse” change le sens de variation (La fonction “inverse” est décroissante).

4) f(x) = |2x – 1| + |x + 3| :

Avec des valeurs absolues, la première chose à faire, c’est d’étudier le signe du contenu des valeurs absolues entre les “|””|”.

Si A ≥ 0, |A| = A.
Si A < 0, |A| = -A.

D’une part :

2x – 1 ≥ 0
⇔ x ≥ ¹/₂.

Donc le tableau de signe est dans le sens – 0 + car a = 2 > 0.

Du coup, |2x – 1| s’écrit d’abord -(2x-1) car le contenu est négatif pour les x inférieurs à ¹/₂.
Puis |2x – 1| s’écrit ensuite 2x-1 car le contenu est positif pour les x supérieurs à ¹/₂.

D’autre part :

x + 3 ≥ 0
⇔ x ≥ -3.

Donc le tableau de signe est dans le sens – 0 + car a = 1 > 0.
Du coup, |x + 3| s’écrit d’abord -(x+3) car le contenu est négatif pour les x inférieurs à -3.
Puis |x+3| s’écrit ensuite x+3 car le contenu est positif pour les x supérieurs à 3.

5) Pour résoudre f(x) = 4, on résout sur chaque intervalle :

-3x – 2 = 4 sur ]-∞ ; -3 ]
⇔ -3x = 6
⇔ x = -2
et on sort de l’intervalle ]-∞ ; -3 ] donc cette valeur ne convient pas.

-x + 4 = 4 sur ] -3 ; ¹/₂ ]
⇔ -x = 0
⇔ x = 0
que l’on conserve car on est bien dans l’intervalle ] -3 ; ¹/₂ ].

3x + 2 = 4 sur ] ¹/₂ ; +∞ [
⇔ 3x = 2
⇔ x = ²/₃
que l’on conserve car on est bien dans l’intervalle ] ¹/₂ ; +∞ [.

On obtient donc S = { 0 ; ²/₃ }.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland