Corrigé

août 10th, 2019

Category: Corrigé et Astuces

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) La courbe représentée est celle de f ‘ (et non celle de f, attention !).
Pour savoir quand f ‘ (x) = 0, il faut regarder quand la courbe de f ‘ coupe l’axe des abscisses.
On voit que la courbe coupe l’axe des abscisses quand x = -2.
Quand x < -2, la courbe de f ‘ est en dessous de l’axe des abscisse
donc f ‘ (x) < 0.
Quand x > -2, la courbe de f ‘ est en dessous de l’axe des abscisse
donc f ‘ (x) > 0.

Pour obtenir les variations de f, faisons donc le tableau de signe de f ‘ (x) avec ces informations.

signe fonction dérivée  variation

2) Pour avoir les variations de f ‘ avec le graphique, on regarde quand sa courbe monte vers la droite (soit f ‘ croissante) et quand sa courbe descend vert la droite (soit f ‘ décroissante).
On peut voir que f ‘ est croissante jusqu’à x = -1 et que f ‘ est décroissante ensuite. Soit le tableau de variation suivant :

variation dérivé signe dérivée seconde

Le signe de f ‘ ‘ (x) dépend directement de la variation de f ‘ comme indiqué dans le tableau ci-dessus.

3) Pour déterminer la convexité de f, on doit déterminer le signe de f ‘ ‘ (x) (que l’on a déjà ici) et faire une ligne en dessous avec les mots concaves / convexe / point d’inflexion.

signe dérivée seconde convexité fonction

4) La seule donnée que l’on a dans l’énoncé, c’est la courbe de f ‘. Or, les f ‘ ‘(x) sont les nombres dérivées de la fonction f ‘ : ce sont donc les coefficients directeurs des tangentes à la courbe de f ‘.

Pour calculer f ‘ ‘ (0), il faut donc tracer la tangente à la courbe de f ‘ au point d’abscisse 0 (c’est T).
Prenons deux points de T pour calculer le coefficient directeur qui est f ‘ ‘(0).

Par exemple A(0 ; 1) et B(2 ; 0).

On utilise la formule du coefficient directeur :

f ‘ ‘(0) = m = (0 – 1)/(2 – 0)
= –1/2

5) Pour la courbe de f, d’après les tableaux, on sait que la fonction est décroissante jusqu’à -2 puis croissante. De plus, il y a un point d’inflexion en -1. C’est clairement la courbe C1 qui convient car on voit que la pente diminue (les tangentes sont au-dessus) à partir de l’abscisse -1.

Pour la courbe de f ‘, d’après les tableaux, on sait que
f ‘ ‘(0) = –1/2
et que
f ‘ ‘(x) est positif avant -1 puis négatif après -1. C’est clairement C3 qui convient, elle coupe même l’axe des ordonnées en -0.5.

6) On a vu dans le tableau de la convexité de f que le point d’inflexion est atteint en x = -1. Le seul moyen de connaître f(-1) ici est la courbe C1.
Donc f(-1) = 0 car la courbe coupe l’axe des abscisses en x = -1.

L’équation d’une tangente au point d’abscisse a est :

equation tangente courbe fonction point abscisse a

Ici a = -1.

Donc y = f ‘ (-1) × (x – (-1)) + f(-1)
y = 1.35 × (x + 1) + 0
y = 1.35x + 1.35.

1.35 est une valeur approchée avec la précision permise par le graphique de la courbe de f ‘. C’est l’image de -1 par f ‘.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland

Ecris le premier commentaire


Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

FrenchMaths.com

GRATUIT
VOIR