Corrigé du 16 janvier

janvier 16th, 2019

Category: Corrigé et Astuces

1) On a u0 = 7.

Calcul de u1 :
u1
= u0+1 (donc n = 0)
= (2 × u0 + 6)/5 (car n = 0)
= (2 × 7 + 6)/5
= 4
Donc u1 = 4.

Calcul de u2 :
u2
= u1+1 (donc n = 1)
= (2 × u0 + 6)/5 (car n = 1)
= (2 × 4 + 6)/5
= 14/5
Donc u2 = 14/5.

2) Pour savoir si une suite est arithmétique, on calcule déjà les premiers termes, u0, u1 et u2 et on regarde si leur différences sont constantes donc on obtient bien une raison additive r.
On a ici u1 – u0 = 4 – 7 = -3
et u2 – u1 = 14/5 – 4 = 14/520/5 = -6/5.
u1 – u0 est différent de u2 – u1, donc la suite (un) n’est pas arithmétique car on n’ajoute pas le même nombre pour passer d’un terme au suivant.

Pour savoir si une suite est géométrique, comme les termes sont différents de 0, on calcule u1/u0 puis u2/u1.

u1/u0 = 4/7
et
u2/u1 = (14/5) / 4
= (14/5) / (4/1)
= (14/5) × (1/4)
= 14/20
= 7/10.

On a u1/u0 différent de u2/u1 donc la suite (un) n’est pas géométrique car on ne multiplie pas par le même nombre pour passer d’un terme actuel au terme suivant. Il n’y a pas de raison multiplicative constante q pour passer d’un terme actuel au terme suivant.

3) Pour prouver qu’une suite est géométrique, il faut partir de
vn+1 = …
puis arriver à …
= q × vn
pour tout entier naturel n.

Comme on sait que un+1 = (2un + 6)/5
et que
vn = un – 2, on peut démarrer par :

vn+1 = un+1 – 2
= (2un + 6)/5 – 2
= (2/5) × un + 6/510/5
= (2/5) × un4/5
= (2/5) × un2/5 × 2
= (2/5) × (un – 2)
= (2/5) × vn.

Il existe q réel (q = 2/5) tel que :
pour tout n, vn+1 = q × vn,
donc (vn) est une suite géométrique de raison 2/5
et de premier terme v0 = u0 – 2 = 7 – 2 = 5.

4) Comme (vn) est géométrique, pour tout n,
vn = v0 × qn
= 5 × (2/5)n.

5) Comme vn = un – 2,
alors un = vn + 2,
donc un = 5 × (2/5)n + 2
et ceci pour tout n entier naturel.

Bonne compréhension,
commenter en cas de point obscur, j’ajouterais une explication,
Sylvain Jeuland

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