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Tout le corrigé :
1) f(x) = x + 1 + xe-x
= x + 1 + u(x) × v(x)
avec u(x) = x
donc u'(x) = 1
avec v(x) = e-x
donc v'(x) = -e-x
f'(x) = 1 + 0 + u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x)
= 1 + 1 × e-x + x × (-e-x)
= 1 + e-x – xe-x
f'(x) = 1 + e-x – u(x) × v(x)
avec les mêmes u(x) et v(x).
Donc f ”(x) = 0 – e-x – (u'(x) × v(x) + u(x) × v'(x))
= – e-x – (1 × e-x – xe-x)
= -2e-x + xe-x
= (x – 2)e-x.
2) x-2 est négatif avant 2, puis positif après 2.
Un exponentiel est toujours strictement positif.
car f'(0) = 1 + e-0 – 0e-0
= 1 + 1 + 0
= 2
et f'(2) = 1 + e-2 – 2e-2
= 1 – e-2.
3) D’après le tableau de variation, on voit que le minimum de la fonction est
1 – e-2 qui est strictement positif.
Donc f'(x) > 0 sur les réels positifs.
4) f(x) = x + 1 + xe-x
lim[x → +∞] (x + 1) = +∞
Comme xe-x est positif sur R+, peu importe sa limite (0, une constante ou +∞), additionnée à la limite +∞ de (x + 1), on aura :
lim[x → +∞] f(x) = +∞
5) On sait que f'(x) est toujours positif sur R+, donc f est strictement croissante.
f(0) = 0 + 1 + 0e-0
= 1.
6) L’équation d’une tangente est :
Donc ici y = f'(1)(x – 1) + f(1).
f'(1) = 1 + e-1 – 1e-1
= 1.
f(1) = 1 + 1 + 1e-1
= 2 + e-1.
Donc y = 1(x – 1) + 2 + e-1
y = x + 1 + e-1.
7) * f est continue sur R+
* f est strictement croissante sur R+
f(0) = 1
lim[x → +∞] f(x) = +∞
* Donc 2 appartient à l’intervalle image [ 1 ; +∞ ]
soit [ f(0) ; lim[x → +∞] f(x)].
D’après le théorème des valeurs intermédiaire, l’équation f(x) = 2 admet une unique solution α sur R+.
On trouve α à l’aide de la calculatrice avec la tableur.
Tout d’abord, on part de 0 et on monte de 1 en 1 jusqu’à dépasser 2.
Donc 0 < α < 1 car on dépasse 2 dès l’abscisse x = 1.
Maintenant on va de 0.1 en 0.1 :
On dépasse 2 à partir de 0.7 donc 0.6 < α < 0.7
Maintenant on va de 0.01 en 0.01 :
On dépasse 2 à partir de 0.66 donc 0.65 < α < 0.66
Maintenant on va de 0.001 en 0.001 :
On dépasse 2 à partir de 0.659 donc 0.658 < α < 0.659
Je prends 0.659 comme valeur arrondie de α.
8) 
Cf est la courbe bleue et (T) la droite rouge qui est bien la tangente en 1.
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
