frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

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Tout le corrigé :

f(q) = 0.5q

g(q) = ^{(78 – 6q)}/_{(q + 8)}

1) Pour un prix de 1 euros (en ordonnée), si on trace la droite horizontale de hauteur 1 (d’équation y = 1), la courbe de demande indique une abscisse de 10 millions car le point d’intersection a pour coordonnées (10 ; 1).

Pour un prix de 1 euros (en ordonnée), si on trace la droite horizontale de hauteur 1 (d’équation y = 1), la courbe d’offre indique une abscisse de 2 millions car le point d’intersection a pour coordonnées (2 ; 1).

La demande étant de 10 millions contre une offre de 2 millions, elle est excédentaire.

2) Le prix est de 4.5 euros, donc l’image est de 4.5 euros. Je vais donc déterminer l’antécédent q tel que f(q) = 4.5.
Soit 0.5q = 4.5
⇔ ^0.5q/_0.5 = ^4.5/_0.5
⇔ q = 9

Pour un prix de 4.5, la quantité offerte est de 9 millions.

3) Le prix est de 4.5 euros, donc l’image est de 4.5 euros. Je vais donc déterminer l’antécédent q tel que g(q) = 4.5.
Soit ^{(78 – 6q)}/_{(q + 8)} = 4.5,
⇔ 78 – 6q = 4.5 × (q + 8)
(en multipliant, par (q + 8) positif de chaque côté),
⇔ 78 – 6q – (4.5 × (q + 8)) = 0,
Dans ce cas,
⇔ 78 – 6q – (4.5q + 4,5 × 8) = 0,
⇔ 78 – 6q – 4.5q – 4,5 × 8 = 0,
⇔ 78 – 10.5q – 36 = 0
⇔ 42 – 10.5q = 0
⇔ q = ⁴²/_10.5 = 4.

Si on traces y = 4.5 et on regarde l’intersection avec Cg, on trouve bien un antécédent q qui vaut 4.

Pour un prix de 4.5, la quantité demandée est de 4 millions.

4) Pour un prix de 4.5 euros, comme la quantité demandée est de 4 millions et que la quantité offerte est de 9 millions, il y a trop d’offre par rapport à la demande. Beaucoup de produites seront invendus.

5) Pour avoir le prix d’équilibre, il faut que l’offre soit égale à la demande soit :
f(q) = g(q)
⇔ 0.5q = ^{(78 – 6q)}/_{(q + 8)}
⇔ 0.5q × (q + 8) = 78 – 6q
(en multipliant, par (q + 8) positif de chaque côté),
⇔ 0.5q × q + 0.5q × 8 – 78 + 6q = 0
⇔ 0.5q² + 10q – 78 = 0
⇔ q² + 20q – 156 = 0
(en multipliant, par 2 de chaque côté pour enlever le 0.5)

C’est un polynôme du second degré.
Δ = b² – 4ac
= 20² – 4 × 1 × (-156)
= 400 + 624
= 1024 > 0 soit deux racines :

x₁ = ^{(-b – √Δ)}/_(2a)
= ^{(-20 – √1024)}/_{(2 × 1)}
= ^{(-20 – 32)}/₂
= ^-52/₂
= -26

x₂ = ^{(-b + √Δ)}/_(2a)
= ^{(-20 + √1024)}/_{(2 × 1)}
= ^{(-20 + 32)}/₂
= ¹²/₂
= 6

Comme les quantités vont de 1 à 12, on retient ici q = 6 millions pour quantité d’équilibre.
Le prix d’équilibre est donc g(6) = f(6) = 0.5 × 6 = 3 euros.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland