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Tout le corrigé :
A(-4 ; 3), B(22/3 ; 5) et C(2 ; 7).
1) Tracer la droite (d) d’équation y = -x + 4 en expliquant la méthode choisie :
Pour tracer une droite, il faut deux points. Pour avoir un point, il faut son abscisse et son ordonnée.
Du coup, on choisit deux abscisses “x” séparées (pour écarter les points). C’est à toi de choisir les “x” et avec ceux-ci tu vas pouvoir calculer les “y”. Le choix de “x” fixe le “y”. Par exemple :
x1 = -3 et x2 = 5.
Maintenant, je calcule les “y” en utilisant l’équation de la droite.
y1 = -x1 + 4 = -(-3) + 4 = 7.
y2 = -x2 + 4 = -5 + 4 = -1.
Tu obtiens donc le point M1(-3 ; 7) et le point M2(5 ; -1) que tu peux relier. En tout cas, c’est toi qui choisis les abscisses “x” et tu calcules les “y” avec l’équation de droite.
Et on s’aperçoit que l’ordonnée à l’origine est bien 4 (la droite coup l’axe des ordonnées à la hauteur 4). Comme c’est indiqué dans l’équation
y = -x + 4.
2) Déterminer une équation de la droite (AC) en expliquant le plus précisément possible :
Pour déterminer une équation de droite, tu as besoin du coefficient directeur puis de l’ordonnée à l’origine.
= (7 – 3)/(2 – (-4))
= 4/6
= 2/3
Donc l’équation de (AC) s’écrit
y = (2/3) x + p
avec p étant l’ordonnée à l’origine.
Pour trouver le “p”, on choisit un point de la droite (par exemple A) qui respecte donc l’équation de la droite et vérifie l’égalité. Tu as donc :
yA = (2/3) × xA + p
⇔ 3 = (2/3) × (-4) + p
⇔ 3 = -8/3 + p
⇔ 3 + 8/3 = p
⇔ 9/3 + 8/3 = p
⇔ p = 17/3.
Donc l’équation de la droite (AC) est
y = (2/3) x + 17/3.
3) Justifier que les droites (d) et (AC) sont sécantes et déterminer par un calcul les coordonnées de leur point d’intersection I :
Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.
Or (d) a pour coefficient directeur (-1) (car y = -x + 4) et (AC) a pour coefficient directeur 2/3. Ils sont différents donc les droites sont sécantes.
Pour trouver le point d’intersection, on doit considérer que ce point appartient aux deux droites donc vérifient les deux équations en même temps : c’est un système !
{ y = -x + 4
{ y = (2/3) x + 17/3
(C’est une grande accolade, mais avec l’informatique, c’est plus facile d’en mettre deux petites pour deux lignes.)
Comme on a y et y à gauche dans les deux lignes, et que y=y forcément, on peut dire que :
-x + 4 = (2/3) x + 17/3.
Le système précédent revient à :
⇔
{ -x + 4 = (2/3) x + 17/3
{ y = -x + 4
{ y = (2/3) x + 17/3
On a une ligne de trop, une seul ligne du type “y =” suffit.
Gardons la plus simple :
⇔
{ -x + 4 = (2/3) x + 17/3
{ y = -x + 4
[
On résout d’abord l’équation avec les “x” à part à droite de la feuille.
-x + 4 = (2/3) x + 17/3
⇔ -x – (2/3) x = 17/3 – 4
⇔ (-5/3) x = 5/3 (car 4 = 12/3)
⇔ x = (5/3) / (-5/3)
⇔ x = -1.
]
On revient au système :
⇔
{ x = -1
{ y = -(-1) + 4 = 5.
Donc le point d’intersection I a pour coordonnées (-1 ; 5).
4) Montrer que I est le milieu de [AC] :
Pour montrer que I est le milieu de [AC], on calcule les coordonnées du milieu de [AC] et on prouve que ce sont les coordonnées de I.
Milieu( (-4 + 2)/2 ; (3 + 7)/2 )
Milieu( -2/2 ; 10/2 )
Milieu( -1 ; 5 )
Ce sont bien les coordonnées de I ! Donc I est le milieu de [AC].
5) Déterminer par un calcul les coordonnées de D point d’intersection de (d) avec l’axe des abscisses :
Pour avoir un point d’intersection, on fait un système avec les deux égalités :
{ équation de la droite (d)
{ équation de l’axe des abscisses
⇔
{ y = -x + 4
{ y = 0 (axe des abscisses)
⇔
{ 0 = -x + 4
{ y = 0
⇔
{ x = 4
{ y = 0
Le point D, intersection de (d) et de l’axe des abscisses à pour coordonnées D(4 ; 0).
6) Montrer que ADBC est un trapèze :
D’après le dessin, il faudrait prouver que (AD) et (CB) sont parallèles pour montrer que ADBC est un trapèze.
Pour cela, calculons les coefficients directeurs de (AD) et (CB).
(AD) : (yD – yA)/(xD – xA)
= (0 – 3)/(4 – (-4))
= -3/8
(CB) : (yB – yC)/(xB – xC)
= (5 – 7)/(22/3 – 2)
= -2/(16/3) (car 2 = 6/3)
= -2 × 3/16
= (-2 × 3)/(2 × 8)
= -3/8 (en simplifiant par 2).
Les coefficients sont égaux donc (AD) et (CB) sont parallèles sont ADBC est un trapèze.
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
