Corrigé – Limites, fonctions, quotient, sinus – Terminale S

janvier 10th, 2017

Category: Corrigé et Astuces

Exercice : Limites – Fonctions, produit, quotient, sinus, infini – Terminale S

Corrigé :

1) limx->+∞(f.g)(x) :

Rédaction :

Je vais essayer de trouver un contre-exemple. La fonction qui emmène la plupart des produits vers 0 en +∞, c’est e-x.

C’est la limite d’un produit donc l’un des facteurs tend vers +∞.
Prenons g(x) = x car x tend vers +∞ en +∞.
Prenons f(x) = e-x car un exponentiel est toujours strictement positif.
Je fais le produit e-x × x et on essaie de déterminer sa limite.

Or d’après le cours sur les fonctions exponentielles :
exponentiel moins dénominateur

f(x)g(x) = 1/ex × x
= x/ex.

C’est l’inverse de ex/x.
D’après le cours, pour tout n entier naturel :

limite croissance comparée exponentielle x puissance n

Donc par inverse pour n = 1, la limite de x/ex en +∞ vaut 0+.

Donc je réponds Non avec ce contre-exemple.

2) f(x)/x > 1 pour tout x > 0
et limx->+∞f(x) :

Rédaction :

f(x)/x > 1
donc f(x) > x (car on multiplie chaque membre par x qui est strictement positif).

Or la limite de x vaut +∞ quand x tend vers +∞.
D’après le théorème de comparaison,
comme f(x) est supérieur à x, et que x tend vers +∞,
alors f(x) tend vers +∞.

Alors Oui.

3) limx->+∞f(x) = -∞,
limx->+∞g(x) = -∞
et limx->+∞f(x)/g(x) = 1 :

Rédaction :

Là aussi, on va utiliser un contre-exemple avec -x3 et -x2.
Si -x3 est au-dessus de -x2, alors les « moins s’annulent » et la fraction vaut x : la limite est +∞.

Si -x3 est en dessous de -x2, alors les « moins s’annulent » et la fraction vaut 1/x : la limite est 0+.

Donc Non avec ce contre-exemple dessus-dessous.

4) f(x) = (sin 5x)/3x
et limite de f en 0 :

Rédaction :

Tiens, on a là du sinus en numérateur et du x en dénominateur . De plus, on cherche la limite en 0.

Cela nous ramène à une limite du cours :

limite fraction sinus numérateur

Dans le X du haut, c’est-à-dire dans le sinus, on a 5x. Donc X = 5x. Pour obtenir le (sin X)/X, il faut obtenir 5x au lieu de 3x au dénominateur.

Du coup, 3x = 5/5 × 3 × x
= 3/5 × 5 × x
= 3/5 × 5x.

sin(5x)/(3x)
= sin(5x)/(3/5 × 5x)
= 5/3 × sin(5x)/(5x) (diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse).

Or quand x tend vers 0, 5x tend aussi vers 0.
De plus, comme vu plus haut, la limite de sin(X)/X = 1.
Donc par composition, sin(5x)/(5x) tend vers 1.
Et par produit, la limite de 5/3 × sin(5x)/(5x) vaut 5/3 en 0.
Ce qui est la limite demandée.

Bonne compréhension,
Sylvain

Ecris le premier commentaire


Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *