Corrigé – Vecteurs – Seconde

mars 7th, 2016

Category: Corrigé et Astuces

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Corrigé :

1) Pour démontrer que ABDC est un parallélogramme, il suffit de démontrer que AB = CD.
Les deux dernières lettres sont inversées !

AB
{
xAB = xB – xA = 3 – (-2) = 5 ;
yAB = yB – yA = 3 – 4 = -1.


CD
{
xCD = xD – xC = 4 – (-1) = 5 ;
yCD = yD – yC = -1 – 0 = -1.

Les coordonnées des vecteurs AB et CD sont les mêmes donc AB = CD.
Donc ABDC est un parallélogramme.

2) Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange.
Calculons donc AB et BD séparément (qui sont deux côtés consécutifs dans le parallélogramme).
Pour ça, on utilise la formule de la distance :

vecteurs maths seconde

On a déjà calculé xB – xA et yB – yA au dessus :

AB = √( 52 + (-1)2 )
= √26.


BD = √( (xD – xB)2 + (yD – yB)2 )
= √( (4 – 3)2 + ((-1) – 3)2 )
= √( 12 + (-4)2 )
= √17.

AB différent de BD donc les côtés consécutifs ne sont pas égaux, donc ABDC n’est pas un losange.

3) On veut que GHKL soit un parallélogramme donc GH doit être égal à LK.
Cette égalité vectorielle équivaut à un système de coordonnées de vecteurs.

{
xGH = xLK,
yGH = yLK

{
xH – xG = xK – xL (d »après le cours),
yH – yG = yK – yL

{
2 – 0 = -2 – xL,
1 – 0 = 3 – xL

{
2 + 2 = – xL
1 – 3 = – yL
(en isolant les coordonnées de L à droite)

{
xL = -4
yL = 2
(en multipliant par -1)

4) Pour démontrer que GE = FK, on calcule les coordonnées de ces vecteurs séparément.

xGE = xE – xG = -3 – 0 = -3
yGE = yE – yG = -2 – 0 = -2
xFK = xK – xF = -2 – 1 = -3
yFK = yK – yF = 3 – 5 = -2

On obtient
xGE = xFK,
yGE = yFK
.

Les deux vecteurs ont même coordonnées donc ils sont égaux.
Du coup, GEKF est un parallélogramme.

5) Pour montrer que [FE] et [HL] ont même milieu, utilisons la formule des coordonnées d’un milieu sur les deux segments.

Milieu de [FE] :
(xF + xE)/2 = (1 + (-3))/2 = (-2)/2 = -1,
(yF + yE)/2 = (5 + (-2))/2 = 3/2
.

Milieu de [HL] :
(xF + xE)/2 = 2 + (-4))/2 = (-2)/2 = -1,
(yF + yE)/2 = (1 + 2)/2 = 3/2
.

Les deux milieux ont les mêmes coordonnées, donc c’est le même milieu pour les deux segments.

Bonne compréhension,
Sylvain

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