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Tout le corrigé :
1) Interprétation économique du point D de g :
Rédaction :
On peut lire que les coordonnées du point D sont (0.5 ; 0.15). En abscisse à gauche, c’est le pourcentage des gens les plus pauvres. En ordonnée en dessous, c’est la répartition des richesses.
On peut affirmer que les 50% des gens les plus pauvres du pays 2 détiennent 15% des richesses du pays 2.
On donne
f(x) = 0.5x3 + 0.5x
et on admet que est positive sur [0 ; 1]
2) Aire A1 du domaine délimité par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 1 :
Rédaction :
Cette aire est ∫[de 0 à 1]f(x)dx en U.A.
Pour la calculer, il faut d’abord déterminer une primitive F(x) de f(x).
La primitive “simple” de x3 est x4/4.
La primitive “simple” de x est x2/2.
Donc F(x) = 0.5 × x4/4 + 0.5 × x2/2
= 0.125x4 0.25x2.
A1 = ∫[de 0 à 1]f(x)dx
= F(1) – ( F(0) )
= 0.125 × 14 0.25 × 12 – (0.125 × 04 0.25 × 02)
= 0.125 + 0.25 – (0)
= 0.375
3) Aire de A :
Rédaction :
Cette aire se situe entre la droite d’équation y = x (au-dessus) et la courbe Cf (en dessous). Pour calculer cette aire, on fait :
aire_sous_la_droite – aire_sous_la_courbe
= 1/2 – A1
= 0.5 – 0.375
= 0.125.
L’aire sous la droite y = x, allant de x = 0 à x = 1 vaut 1/2 car c’est un triangle rectangle de base 1 et de hauteur 1 (un demi-carré). C’est la formule (Base × Hauteur)/2.
G2 = 4/15.
4) Coefficient de Gini G1 et le système le plus égalitaire :
Rédaction :
G1 = 2 × A1
= 2 × 0.125
= 0.25
G2 = 4/15
= 0.267 environ.
G1 < G2 donc le pays 1 a un système + égalitaire que le pays 2.
5) Résultat à l’avance sur le graphique :
Rédaction :
La courbe Cf est au-dessus de la courbe Cg donc plus près de la droite y = x qui représente un système idéalement égalitaire.
C’est bien le pays lié à f, le premier.
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
