frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

Exercice : Clic droit vers l’exercice

Tout le corrigé :

1) Rédaction :

Le sommet d’une parabole est donné par les coordonnées α et β du cours de maths. Je préfère les appeler x_S et y_S. Les formules sont :

Ici a = -3, b = 6, c = 12.

x_S = ^-b/_2a = ^-6/_(2(-3))
= ^-6/_-6 = 1

Δ = b² – 4ac
= 6² – 4 × (-3) × 12
= 36 + 4 × 3 × 12
= 36 + 144
= 180

y_{S = ^-Δ/4a = ^-180/(4(-3))
= ^-12/-6 = 15}

On peut calculer aussi l’ordonnée du sommet y_S en prenant l’image f(x_S). On peut aussi utiliser α et β pour nommer l’abscisse et l’ordonnée du sommet.

Donc les coordonnées du sommet S sont (1 ; 15).

2) Rédaction :

Comme on a les coordonnées du sommet, on sait où s’arrêtent les flèches.
Regardons le signe de “a”. C’est -3 donc il est négatif.

(Hors-rédaction : l’atmosphère/ambiance est négative, la parabole ne sourit pas.)

Du coup, la parabole monte puis descend. De même pour les flèches. J’obtiens le tableau de variation suivant.

Pour dessiner une courbe, il faut faire un tableau de valeurs. Par exemple de 1 en 1 en partant de (-3).

(Tu peux le faire à la calculatrice à l’aide de la fonction table. Ou alors tu dessines le tableau sur la copie en calculant un par un en mettant bien des parenthèses autour des nombres négatifs. Quand c’est espacé en hauteur, tu peux calculer de demi en demi : 0.5, 1.5, etc)

3) Rédaction :

3x² – 4x – 4 > -3x² + 6x + 12
⇔ 3x² – 4x – 4 – (-3x² + 6x + 12) > 0
⇔ 3x² – 4x – 4 + 3x² – 6x – 12 > 0
⇔ 6x² – 10x – 16 > 0

Pour résoudre une inéquation plus grand ou plus petit que 0, je dois faire un tableau de signe.

Comme c’est du second degré, je calcule le discrimant
Δ = b² – 4ac
= (-10)² – 4 × 6 × (-16)
= 100 + 384 = 484 > 0

Donc on a deux racines x₁ et x₂ :

x₁ = ^{(-b – √Δ)}/_(2a)
= ^{(-(-10) – √484)}/_{(2 × 6)}
= ^{(10 – 22)}/₍₁₂₎
= ^-12/₁₂
= -1

x₂ = ^{(-b + √Δ)}/_(2a)
= ^{(-(-10) + √484)}/_{(2 × 6)}
= ^{(10 + 22)}/₍₁₂₎
= ³²/₁₂
= ⁸/₃

Le tableau de signe est de la forme (on rappelle que a > 0) :

Donc on prend seulement les “plus+” et pas les zéros car l’inégalité est stricte.

S = ]-∞ ; -1[ U ]⁸/₃ ; +∞[

4) Rédaction :

3x² – 4x – 4 > -3x² + 6x + 12
C’est quand f(x) > g(x) d’après les données.
C’est quand la courbe C_f est strictement au dessus de la courbe C_g.

Si on entoure les portions de courbe qui conviennent et qu’on redescend verticalement sur l’axe des abscisses, on retrouve la réunion d’intervalle précédente.

5) Rédaction :

A_g est égale à la moitié de l’aire du carré ABCD
⇔ A_g = 0.5 × A_ABCD
⇔ AM² + (AB-AM)² = 0.5 × AB²

On pose x = AM (ça marche toujours comme ça dans ce style d’exercice).

⇔ x² + (8 – x)² = 0.5 × 8²
⇔ x² – 8² + 2 × 8 × x + x² = 0.5 × 64
⇔ x² + 64 – 16x + x² = 32
⇔ 2x² – 16x + 64 – 32 = 0
⇔ 2x² – 16x + 32 = 0

Comme tous les coefficients sont paire, je simplifie cette équation par 2 pour simplifier.

⇔ x² – 8x + 16 = 0

Je peux résoudre avec le discriminant Δ mais je préfère ici utiliser une identité remarquable.

⇔ x² – 2 × 4 × x + 16 = 0
⇔ (x – 4)² = 0
⇔ x – 4 = 0 (Un carré est nul si et seulement si son contenu est nul).
⇔ x = 4

Donc AM = 4 et il existe une seule position de M qui convient à cette égalité d’aires. C’est le milieu de [AB].

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland