Corrigé – Suites, arithmétique, géométrique, algorithme – Terminale ES

janvier 9th, 2017

Category: Algorithmique

Exercice : Suites – Arithmétique, géométrique, algorithme – Terminale ES

Corrigé :

1) (un) arithmétique de raison 6000 et expression :

Rédaction :

Au début du compte U, celui-ci est vide. Chaque année, l’épargnant y ajoute 6000 euros pour obtenir le solde l’année suivante. D’une année sur l’autre, on a donc un+1 = un + 6000.
(un) est donc une suite arithmétique de raison 6000 et son premier terme est 0.
Comme la suite est arithmétique :

suite arithmétique formule explicite

On commence à u0 = 0 et r = 6000.
Donc pour tout n, un = 0 + 6000 × (n – 0)
= 6000n.

2) Expliquer in :

Chaque année n, le client ajoute 6000 à son compte en banque.
A la fin de la première année, il y a donc u1 = 6000 euros dans son compte. Comme les intérêts sont de 5%,
cela fait i1 = 5/100 × u1
= 0,05 × u1.

L’année 2, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc
u2 = u1 + 6000 dans le compte.
Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur u2 qu’on ajoute à ceux d’avant, soit :
i2 = i1 + 0,05 × u2
= 0,05 × u1 + 0,05 × u2
= 0,05 × (u1 + u2).

L’année 3, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc
u3 = u2 + 6000.
Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur u3, soit :
i3 = 0,05 × u3 + i2
= 0,05 × u3 + × (u1 + u2)
= 0,05*(u1 + u2 + u3).

Et ainsi de suite…..

L’année n, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc
un = un-1 + 6000.
Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur un, soit :
in = 0,05 × un + in-1
= 0,05 × un + 0,05 × (u1 + u2 + u3 + … + un-1)
= 0,05 × (u1 + u2 + u3 + … + un-1 + un)

Donc in = 0,05 × (6000 + 6000 × 2 + 6000 × 3 + … + 6000 × n).
Je factorise par 6000 :
in = 0,05 × (6000(1 + 2 + 3 + … + n))
= 300 × (1 + 2 + 3 + … + n).

Or d’après le cours :

somme arithmétique suite

donc in = 300 × n(n+1)/2
= 150n(n+1).

3) vn+1 et vn :

Rédaction :

L’année suivante, pour calculer vn+1, on prend le solde de l’année précédente vn. Sur ces vn euros, on gagne 4 pourcents d’intérêts. Du coup, le solde provenant de vn subit une augmentation de 4 pourcent : on multiplie donc vn par (1 + 4/100) = 1,04.
De plus, l’épargnant ajoute 6000 euros dans l’année. A la fin de l’année, les intérêts de 4 pourcents sont donc comptabilisés sur ces 6000 soit 6000 × 1.04 = 6240.
Du coup, vn+1 est la somme de ces deux montants.
vn+1 = 1.04vn + 6240.

wn = vn + 156000
4) Mq (wn) géométrique :

Rédaction :

Pour tout n, wn+1 = vn+1 + 156000
= 1.04vn + 6240 + 156000
= 1.04vn + 162240
= 1.04 × (vn + 162240/1.04)
= 1.04 × (vn + 156000)
= 1.04 × wn.

Donc (wn) est une suite géométrique de raison 1.04 et de première terme
w0 = v0 + 156000
= 0 + 156000 = 156000.

5) Expression de wn et vn :

Rédaction :

La formule explicite d’une suite géométrique est :

formule explicite suite géométrique

Du coup, wn = w0 × 1.04n-0
= 156000 × 1.04n.

D’après les données de l’exercice, wn = vn + 156000.
Donc vn = wn – 156000
= 156000 × 1.04n – 156000.

6) Intérêts jn du placement V :

Rédaction :

Les intérêts du placement V sont la différence entre le solde total et l’argent apporté par l’épargnant qui vaut 6000n car il apporte 6000 euros par an sur n années.

Donc jn = vn – 6000n
= 156000 × 1.04n – 156000 – 6000n.

7) Comparer i10 et j10 :

Rédaction :

i10 = 150 × 10 × (10+1)
= 150 × 11 = 16500 euros.
j10 = 156000 × 1.0410 – 156000 – 6000 × 10
= 14918.11 euros.

Sur 10 ans, il faut choisir le placement U car i10 > j10.

8) Pour un placement sur 20 ans :

Rédaction :

On calcule pour n = 20.
i20 = 150 × 20 × (20+1)
= 3000 × 21 = 63000 euros.
j20 = 156000 × 1.0420 – 156000 – 6000 × 20
= 65815.21 euros.

Sur 20 ans, il faut choisir le placement V car i20 < j20

9) Comment interpréter ce résultat de l’algorithme ?

Rédaction :

Dans le test du TantQue, la condition est que l’algorithme continue de tourner tant que les intérêts de V sont inférieurs ou égaux aux intérêts de U
(on reconnait jn ≤ in).
Du coup, la boucle va s’arrêter dès que les intérêts totaux de V vont strictement dépasser ceux de U. C’est le résultat voulu.
L’algorithme retourne N, c’est-à-dire le nombre d’étapes ou années quand le placement V devient plus intéressant que le placement U.
Il retourne N = 18, donc le placement V devient plus intéressant à partir d’un placement de 18 ans.

Bonne compréhension,
Sylvain

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