frenchmaths.com (par Sylvain Jeuland)

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Tout le corrigé :

1) Au début du compte U, celui-ci est vide. Chaque année, l’épargnant y ajoute 6000 euros pour obtenir le solde l’année suivante. D’une année sur l’autre, on a donc u_n+1 = u_n + 6000.
(u_n) est donc une suite arithmétique de raison 6000 et son premier terme est 0.
Comme la suite est arithmétique :

On commence à u₀ = 0 et r = 6000.
Donc pour tout n, u_n = 0 + 6000 × (n – 0)
= 6000n.

2) Chaque année n, le client ajoute 6000 à son compte en banque.
A la fin de la première année, il y a donc u₁ = 6000 euros dans son compte. Comme les intérêts sont de 5%,
cela fait i1 = 5/100 × u₁
= 0,05 × u₁.

L’année 2, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc
u₂ = u₁ + 6000 dans le compte.
Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur u₂ qu’on ajoute à ceux d’avant, soit :
i₂ = i₁ + 0,05 × u₂
= 0,05 × u₁ + 0,05 × u₂
= 0,05 × (u₁ + u₂).

L’année 3, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc
u₃ = u₂ + 6000.
Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur u₃, soit :
i₃ = 0,05 × u₃ + i₂
= 0,05 × u₃ + × (u₁ + u₂)
= 0,05*(u₁ + u₂ + u₃).

Et ainsi de suite…..

L’année n, le client ajoute 6000€ à son compte, il y a donc
u_n = u_n-1 + 6000.
Pas d’intérêts car ceux-ci sont dans un compte à part.
A la fin de l’année, les intérêts de 5% sont donc pris sur u_n, soit :
i_n = 0,05 × u_n + i_n-1
= 0,05 × u_n + 0,05 × (u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n-1)
= 0,05 × (u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n-1 + u_n)

Donc i_n = 0,05 × (6000 + 6000 × 2 + 6000 × 3 + … + 6000 × n).
Je factorise par 6000 :
i_n = 0,05 × (6000(1 + 2 + 3 + … + n))
= 300 × (1 + 2 + 3 + … + n).

Or d’après le cours :

donc i_n = 300 × n(n+1)/2
= 150n(n+1).

3) L’année suivante, pour calculer v_n+1, on prend le solde de l’année précédente v_n. Sur ces v_n euros, on gagne 4 pourcents d’intérêts. Du coup, le solde provenant de v_n subit une augmentation de 4 pourcent : on multiplie donc v_n par (1 + 4/100) = 1,04.
De plus, l’épargnant ajoute 6000 euros dans l’année. A la fin de l’année, les intérêts de 4 pourcents sont donc comptabilisés sur ces 6000 soit 6000 × 1.04 = 6240.
Du coup, v_n+1 est la somme de ces deux montants.
v_n+1 = 1.04v_n + 6240.

w_n = v_n + 156000.

4) Pour tout n, w_n+1 = v_n+1 + 156000
= 1.04v_n + 6240 + 156000
= 1.04v_n + 162240
= 1.04 × (v_n + 162240/1.04)
= 1.04 × (v_n + 156000)
= 1.04 × w_n.

Donc (w_n) est une suite géométrique de raison 1.04 et de première terme
w₀ = v₀ + 156000
= 0 + 156000 = 156000.

5) La formule explicite d’une suite géométrique est :

Du coup, w_n = w₀ × 1.04^n-0
= 156000 × 1.04ⁿ.

D’après les données de l’exercice, w_n = v_n + 156000.
Donc v_n = w_n – 156000
= 156000 × 1.04ⁿ – 156000.

6) Les intérêts du placement V sont la différence entre le solde total et l’argent apporté par l’épargnant qui vaut 6000n car il apporte 6000 euros par an sur n années.

Donc j_n = v_n – 6000n
= 156000 × 1.04ⁿ – 156000 – 6000n.

7) i₁₀ = 150 × 10 × (10+1)
= 150 × 11 = 16500 euros.
j₁₀ = 156000 × 1.04¹⁰ – 156000 – 6000 × 10
= 14918.11 euros.

Sur 10 ans, il faut choisir le placement U car i₁₀ > j₁₀.

8) On calcule pour n = 20.
i₂₀ = 150 × 20 × (20+1)
= 3000 × 21 = 63000 euros.
j₂₀ = 156000 × 1.04²⁰ – 156000 – 6000 × 20
= 65815.21 euros.

Sur 20 ans, il faut choisir le placement V car i₂₀ < j₂₀

9) Dans le test du TantQue, la condition est que l’algorithme continue de tourner tant que les intérêts de V sont inférieurs ou égaux aux intérêts de U
(on reconnait j_n ≤ i_n).
Du coup, la boucle va s’arrêter dès que les intérêts totaux de V vont strictement dépasser ceux de U. C’est le résultat voulu.

L’algorithme retourne N, c’est-à-dire le nombre d’étapes ou années quand le placement V devient plus intéressant que le placement U.
Il retourne N = 18, donc le placement V devient plus intéressant à partir d’un placement de 18 ans.

Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland