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Tout le corrigé :
1) Je saisis N = 3.
U = 0.
Boucle pour k = 0 :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 0 – 2×0 + 3
Donc U = 3
FinPour
Boucle pour k = 1 :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 3 – 2×1 + 3
Donc U = 10
FinPour
Boucle pour k = 2 (on a bien N-1=2 là) :
U = 3U − 2k + 3 = 3 × 10 – 2×2 + 3
Donc U = 29
FinPour
Pas de nouvelle boucle
Afficher U : 29.
2) u1 = u0+1 = 3u0 – 2×0 + 3
= 3 (ici n = 0).
u2 = u1+1 = 3u1 – 2×1 + 3
= 10 (ici n = 1).
3) Initialisation :
u0 = 0 ≥ 0.
La propriété est donc vrai au rang 0.
Hérédité :
On suppose que la propriété est vrai au rang k, soit uk ≥ k.
Montrons qu’elle est vraie au rang k+1, soit que uk+1 ≥ k+1.
Je fais “par construction”.
uk ≥ k
⇔ 3uk ≥ 3k
⇔ 3uk – 2k ≥ 3k – 2k
⇔ 3uk – 2k + 3 ≥ k + 3
⇔ uk+1 ≥ k + 3 ≥ k + 1 (car 3 ≥ 1)
⇔ uk+1 ≥ k + 1
La propriété est donc vraie au rang k+1.
Conclusion : L’initialisation et l’hérédité ont été prouvées donc la propriété
“un ≥ n” est vraie pour tout n entier plus grand ou égal à 0.
4) En regardant les données, on sait que un ≥ n.
La limite de n est +∞ quand n tend vers +∞, et tous les un sont plus grands ou égaux que n.
En utilisant le théorème de comparaison, comme la petit suite (n) tend vers +∞, alors la grande suite (un) tend aussi vers +∞.
5) Pour déterminer la variation de (un), j’étudie le signe de un+1 – un.
Donc un+1 – un = 3un – 2n + 3 – un
= 2un – 2n + 3
De plus, un ≥ n.
Donc 2un – 2n + 3 ≥ 2n – 2n + 3
Donc un+1 – un ≥ 3 > 0.
Comme un+1 – un est strictement positif, la suite (un) est strictement croissante.
6) Je dois montrer qu’il existe q réel tel que :
vn+1 = q × vn.
Alors je commence par :
Pour tout n, vn+1 = un+1 − (n+1) + 1
= 3un – 2n + 3 – (n+1) + 1
= 3un – 2n + 3 – n – 1 + 1
= 3un – 3n + 3
On voit le nombre 3 plusieurs fois.
= 3 × (un – n + 1)
= 3 × vn.
Il existe q réel (q = 3), tel que pour tout n entier, vn+1 = q × vn. Donc (vn) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme v0 = u0 – 0 + 1 = 1.
Donc vn = v0×qn
= 1 × 3n = 3n.
7) vn = 3n et
vn = un − n + 1
Donc 3n = un − n + 1
Donc 3n + n – 1 = un.
8) C’est la définition de la limite en +∞.
Pour tout A > 0, il existe un N0,
tel que pour tout n ≥ N0,
un > A.
Ici ce A est 10p et ce N0 est N.
9) 10 < 27 donc
10 < 33 donc
10p < (33)p
10p < 33p
10p < 33p + 3p – 1 (avec p non nul, 3p-1>0)
10p < u3p
On a déjà dépassé 10p avec 3p donc N ≤ 3p.
10) 1 + 0 – 1 = 0 < 1000
3 + 1 – 1 = 3 < 1000
9 + 2 – 1 = 10 < 1000
27 + 3 – 1 = 29 < 1000
81 + 4 – 1 = 94 < 1000
243 + 5 – 1 = 247 < 1000
729 + 6 – 1 = 734 < 1000
2187 + 7 – 1 = 2193 > 103
L’entier N est 7.
11) On veut comme résultat : La suite est égale ou dépasse 10p.
Donc on continue la boucle de calcul tant que ce n’est pas le cas.
Le Test du TantQue est donc le contraire de ≥.
On continue à augmenter le N et recalculer un
tant qu’il est < que 10p.
Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul p
Traitement Affecter à N la valeur 0.
Tant que (3N + N – 1 < 10p)
N prend la valeur N+1
Fin Tant que
Sortie Afficher N
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland