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Tout le corrigé :
1) u1 = 1.
u2
= u1+1 (donc n = 1)
= u1 + (1 + 1)3
= 1 + 23 = 1 + 8 = 9.
u3
= u2+1 (donc n = 2)
= u2 + (2 + 1)3
= 9 + 33 = 9 + 27 = 36.
u4
= u3+1 (donc n = 3)
= u3 + (3 + 1)3
= 36 + 43 = 36 + 64 = 100.
On remarque 1, 9, 36 et 100 sont des carrés.
2) Initialisation :
D’une part u1 = 1.
D’autre part 13 = 1.
On a bien u1 = 13.
J’ai prouvé l’initialisation.
Hérédité :
On suppose à un rang k entier donné que :
uk = 13 + 23 + · · · + k3
(Hors rédaction : L’hypothèse de récurrence est une Donnée dans l’hérédité, il faudra donc la garder à l’esprit et l’utiliser. Tout comme l’autre donnée dans l’énoncé de l’exercice!)
Je vais montrer que uk+1 = 13 + 23 + · · · + k3 + (k+1)3.
D’après la formule de la suite dans l’énoncé,
uk+1 = uk + (k + 1)3
En remplaçant le terme en “gras” d’après l’hypothèse de récurrence :
= 13 + 23 + · · · + k3 + (k + 1)3
Voilà, j’ai bien prouvé l’hérédité.
Conclusion :
J’ai prouvé l’initialisation à n = 1, et l’hérédité,
donc pour tout entier n ∈ N∗,
un = 13 + 23 + · · · + n3.
3) Faisons à nouveau une récurrence.
Initialisation pour n = 1 :
On a par définition, u1 = 13.
Donc on a bien u1 ≥ 13 car l’inégalité est large.
Hérédité :
On suppose la propriété est vraie au rang n.
On a donc un ≥ n3.
Montrons que la propriété est vrai au rang (n+1).
Il faut montrer que un+1 ≥ (n + 1)3.
Je calcule un+1
= un + (n + 1)3 d’après les données.
Or un ≥ n3
donc un + (n + 1)3 ≥ n3 + (n + 1)3
(an ajoutant (n + 1)3 de chaque côté).
Donc un+1 ≥ n3 + (n + 1)3 ≥ (n + 1)3
car n3 est positif et on additionne.
Donc on a bien un+1 ≥ (n + 1)3.
Donc l’hérédité est vraie.
Conclusion :
On a prouvé l’initialisation et l’hérédité donc la propriété
un ≥ n3
est vraie pour tout entier strictement positif.
4) lim[n → +∞]n3 = +∞ d’après le cours.
De plus, un > n3.
D’après le Théorème de Comparaison, la limite de un est plus grande que la limite de n3. Elle est donc forcément +∞.
5) D’après le cours,
1 + 2 + · · · + n = n(n+1)/2.
Donc Sn = n(n+1)/2.
6) S1 = 1.
S2 = 1 + 2 = 3.
S2 = 1 + 2 + 3 = 6.
S3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
7) Les valeurs des quatre premiers Sn sont 1, 3, 6 et 10.
Les valeurs des quatre premiers un sont 1, 9, 36 et 100.
Les quatre premiers un sont les carrés des quatre premiers Sn.
Donc je conjecture que pour tout n ∈ N∗,
un = Sn2.
8) Initialisation :
Déjà fait dans la question 7 avec les quatre premiers un qui sont les quatre premiers carrés des Sn.
Hérédité :
Je suppose qu’à un rang k donné, uk = Sk2.
(Ceci est l’hypothèse de récurrence, c’est donc une donnée pour l’hérédité.)
Je vais montrer que : uk+1 = Sk+12.
Je commence par uk+1
= uk + (k + 1)3
= Sk2 + (k + 1)3 (avec l’hypothèse de récurrence)
= (k(k+1))/2)2 + (k + 1)3 (avec la formule du cours vue en 5))
= (k2(k+1)2/22) + (k + 1)(k + 1)2
(je mets le “carré” sur chaque facteur et diviseur de la fraction)
= k2(k + 1)2/22 + (4/4)(k + 1)(k + 1)2
(pour mettre au même dénominateur avec (k + 1)2)
= (k + 1)2 × [k2/22 + 4(k + 1)/4]
= (k + 1)2 × [k2/22 + (4k + 4)/22]
= (k + 1)2 × [(k2 + 4k + 4)/22]
(on a la forme développée d’une identité remarquable avec a = k et b = 2)
= (k + 1)2 × [(k2 + 2×k×2 + 22)/22]
= (k + 1)2 × [(k + 2)2/22]
= [ (k + 1) × [(k + 1 + 1)/2] ]2
= Sk+12.
Voilà j’ai démontré que uk+1 = Sk+12.
J’ai donc l’hérédité.
Conclusion :
J’ai prouvé l’initialisation et l’hérédité donc j’ai prouvé la propriété voulue pour tout n entier supérieur ou égal à 1.
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland