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Tout le corrigé :
1) On a →AG = 2/3→AB.
Montrons que 1/3→GA + 2/3→GB = →0 :
On part de la gauche pour espérer tomber sur le vecteur nul.
1/3→GA + 2/3→GB
= 1/3(-→AG) + 2/3(→GA + →AB)
= 1/3(-→AG) + 2/3(-→AG + →AB)
= –1/3→AG – 2/3→AG + 2/3→AB
= –→AG + 2/3→AB
= –2/3→AB + 2/3→AB
= →0.
2) On a -5→HA + 6→HB + 9→HC = →0.
Montrons que →AH = 3/5→AB + 9/10→AC :
-5→HA + 6→HB + 9→HC = →0
⇔ -5→HA + 6(→HA + →AB) + 9(→HA + →AC) = →0
⇔ -5→HA + 6→HA + 6→AB + 9→HA + 9→AC = →0
⇔ 10→HA + 6→AB + 9→AC = →0
⇔ -10→AH + 6→AB + 9→AC = →0
⇔ 6→AB + 9→AC = 10→AH
⇔ 10→AH = 6→AB + 9→AC
⇔ →AH = 6/10→AB + 9/10→AC
⇔ →AH = 3/5→AB + 9/10→AC
3) On a →KA + 3→KC = →0.
Exprimons →AK en fonction de →AC :
→KA + 3→KC = →0
⇔ →KA + 3→KC = →0
⇔ →;KA + 3(→KA + →AC) = →0
⇔ →KA + 3→KA + 3→AC = →0
⇔ 4→KA + 3→AC = →0
⇔ -4→AK + 3→AC = →0
⇔ 3→AC = 4→AK
⇔ 3/4→AC = →AK
⇔ →AK = 3/4→AC
4) On a →LA + 2→LB + 3→LC = →0.
Montrons que →AL = 1/3→AB + 1/2→AC :
→LA + 2→LB + 3→LC = →0
⇔ →LA + 2(→LA + →AB) + 3(→LA + →AC) = →0
⇔ →LA + 2→LA + 2→AB + 3→LA + 3→AC = →0
⇔ 6→LA + 2→AB + 3→AC = →0
⇔ -6→AL + 2→AB + 3→AC = →0
⇔ 2→AB + 3→AC = 6→AL
⇔ 6→AL = 2→AB + 3→AC
⇔ →AL = 2/6→AB + 3/6→AC
⇔ →AL = 1/3→AB + 1/2→AC
5) Montrons que L milieu de [GC] :
L’idée est d’exprimer les vecteurs →GL (à gauche) et 1/2→GC (à droite) en fonction des vecteurs non colinéaires →AB et →AC.
D’une part, →GL = →GA + →AL
= –→AG + →AL
= –2/3→AB + 1/3→AB + 1/2→AC
= –1/3→AB + 1/2→AC
D’autre part, 1/2→GC
= 1/2(→GA + →AC)
= 1/2→GA + 1/2→AC
= 1/2→GA + 1/2→AC
= 1/2(-→AG) + 1/2→AC
= 1/2(-→AG) + 1/2→AC
= 1/2(-2/3→AB) + 1/2→AC
= –1/3→AB + 1/2→AC
Les coefficients devant -→AB et →AC sont les même donc on a bien →GL = 1/2→GC.
Du coup, L est bien le milieu de [GC].
6) Montrons que L, A, H alignés :
L, A et H sont alignés si et seulement si les vecteurs ->AL et →AH sont colinéaires.
Ils sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées x et x’, puis y et y’ sont proportionnelles.
Comme ces vecteurs sont exprimés en fonction des vecteurs non colinéaires →AB et →AC, on peut utiliser le repère (A ; →AB ; →AC). Les coordonnées x et y, puis x’ et y’ sont les coefficients devant ces vecteurs.
D’une part, →AL = 1/3→AB + 1/2→AC.
Donc x = 1/3 et y = 1/2.
D’autre part, →AH = 3/5→AB + 9/10→AC.
Donc x’ = 3/5 et y’ = 9/10.
On a donc le tableau :
1/3 | 1/2
3/5 | 9/10
Les produits en croix sont :
1/3 × 9/10
= 9/30 = 3/10
Et :
3/5 × 1/2
= 3/10.
Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs →AL et →AH sont colinéaires et les points A, L et H sont alignés.
7) Montrons que L ∈ (KB) :
L ∈ (KB)
si et seulement si,
L, K et B sont alignés.
La lettre K se trouve dans la formule →AK = 3/4->AC donc insérons un A dans ->BK avec la relation de Chasles.
Comme on a aussi ->AL, insérons un A dans →BL.
L, K et B sont alignés si et seulement si →BK et →BL sont colinéaires. Regardons si leurs coordonnées dans le repère (A ; →AB ; →AC) sont proportionnelles.
D’une part, →BK = →BA + →AK
= -1→AB + 3/4→AC.
Les coordonnées x et y sont -1 et 3/4.
D’autre part, →BL = →BA + →AL
= -1→AB + 1/3→AB + 1/2→AC
= –2/3→AB + 1/2→AC.
Les coordonnées x’ et y’ sont –2/3 et 1/2.
Le tableau est :
-1 ; 3/4
–2/3 ; 1/2
Les produits en croix sont :
-1 × 1/2
= –1/2
Et :
3/4 × –2/3
= –1/2.
Donc les produits en croix sont égaux, x’y – xy’ = 0, les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs →BK et →BL sont colinéaires et les points B, K et L sont alignés. Du coup, L appartient à (KB).
8) Que peut-on dire des droites (GC), (HA) et (KB) :
L appartient à (GC), à (HA) et à (KB) donc les trois droites se coupent en un même point L. Elles sont concourantes.
Bonne compréhension,
Sylvain Jeuland
