Exponentielle – Coûts, dérivée, inéquations, variation – Première

novembre 26th, 2019

Category: Dérivées et Intégrales, Equations et Inéquations, Exponentielle et Logarithme, Première

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Exercice N°331 :

Exponentielle, coûts, dérivée, inéquations, variation, terminale

On s’intéresse à la production mensuelle d’une certaine catégorie d’articles pour une entreprise. On sait que le nombre d’articles produits par mois est compris entre 0 et 500.
On suppose que le coût total, exprimé en milliers d’euros, peut être modélisé par la fonction CT définie sur l’intervalle [0 ; 5] par
CT(x) = 2x2 + xe-2x + 3,
où x est exprimé en centaines d’articles.

1) Déterminer la fonction coût marginal Cm, c’est-à-dire la fonction dérivée de la fonction coût total CT.

2) Calculer le coût marginal pour la fabrication de 150 articles.

La fonction coût moyen, notée CM est la fonction définie sur ]0 ; 5] par
CM(x) = CT(x)/x.

3) Donner une expression de CM(x) en fonction de x.

4) Déterminer C ‘M(x)C ‘M désigne la fonction dérivée de CM.

5) Résoudre dans R l’équation 1 – e-2x + 3 = 0.

6) Résoudre dans R l’équation 1 – e-2x + 3 > 0.

7) En déduire le sens de variation de CM sur ]0 ; 5[.

8) Pour quelle production q l’entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût ?

Chaque centaine d’articles est vendue 7000 €. La recette totale pour x centaines d’articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par
R(x) = 7x
en milliers d’euros.
Le bénéfice est donc défini par
B(x) = R(x) − CT(x).

Ci-haut sont représentées les fonctions CT et R (avec la droite RT).

Par lecture graphique déterminer :

9) l’intervalle sur lequel le rendement marginal est croissant (ce qui signifie que le coût marginal est décroissant),

10) le coût moyen minimal (ne pas faire cette question, je ne vois pas comment c’est possible de trouver)

11) l’intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu’il y ait un bénéfice positif de l’entreprise E,

12) la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal. On fera apparaître les constructions nécessaires.

13) Avec l’aide de votre calculatrice, affiner l’intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu’il y ait un bénéfice positif de l’entreprise E.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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Exercice précédent : Statistiques – Tableau, moyenne, écart-type, pourcentage – Première

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