Exponentielle – Fonction, continuité, signe, variation – Terminale S

novembre 20th, 2019

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale S

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Exercice N°281 :

Soit la fonction f définie sur R par
f(x)= x2ex − 1 − (x2/2).

Conjectures à partir d’un graphique :

Le graphique ci-dessous est la courbe représentative C de f telle que l’affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.

exo281_a

A l’observation de cette courbe, conjecturer :

1) le sens de variation de f,

2) la position de C par rapport à l’axe des abscisses.

Étude d’une fonction auxiliaire g :

Soit g la fonction définie sur R par
g(x) = (x + 2)ex − 1 − 1.

3) Étudier les limites de g en +∞ et en −∞ (en justifiant soigneusement).

4) Montrer que g ‘ (x) = (x + 3)ex−1 puis faire l’étude de son signe.

5) Dresser le tableau de variation de g. Faire apparaître les limites obtenues.

6) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique dans R. On notera α cette solution. Montrer que 0,20 < α < 0,21.

7) Déduire des questions précédentes le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Étude de la fonction f :

8) Calculer f ‘ (x) pour tout réel x, et montrer que f ‘ (x) = xg(x).

9) En déduire le signe de f ‘ (x) et dresser le tableau de variation de la fonction f.

Que pensez-vous de votre conjecture faite dans la première question ?

10) Sachant que g(α) = 0, démontrer que
f(α)= −α3/2(α+2).

11) Déterminer le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 et donner une valeur approchée ou exacte de la ou les solutions.
Que pensez-vous de votre deuxième conjecture sur la position de C par rapport à l’axe des abscisses ?

12) Proposer un réglage judicieux de la fenêtre graphique de la calculatrice qui permettra de visualiser les résultats précédents.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Exercice précédent : Exponentielle – Fonction, dérivées, limite, continuité – Terminale S

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