Exponentielle – Fonctions, suite, continuité, limite – Terminale

octobre 16th, 2019

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale S

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Exercice N°283 :

Exponentielle, fonctions, suite, continuité, limite, terminale

Soit n un entier naturel.
On note fn la fonction définie sur l’ensemble R des nombres réels par :
fn(x) = e−nx/(1 + e−x).
On note Cn la courbe représentative de fn dans un repère orthogonal
(O ; i ; j).
Les courbes C0, C1, C2 et C3 sont représentées ci-dessus.

1) Démontrer que pour tout entier naturel n, les courbes Cn ont un point A en commun. On précisera ses coordonnées.

Étude de la fonction f0 :

2) Étudier le sens de variation de f0.

3) Préciser les limites de la fonction f0 en −∞ et +∞. Interpréter graphiquement ces limites.

4) Dresser le tableau de variation de la fonction f0 sur R.

5) Démontrer que l’équation f0(x) = 0,8 a une solution unique α sur R. Déterminer une valeur approchée à 10−1 près de α.

Étude de la fonction fn pour n ≥ 2 :

6) Vérifier que pour tout entier naturel n ≥ 2 et pour tout nombre réel x, on a :

fn(x) = 1/( enx + e(n−1)x ).

7) Étudier les limites de la fonction fn en −∞ et +∞.

8) Calculer la dérivée x → fn ‘ (x) et dresser le tableau de variation de la fonction fn sur R.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Exercice précédent : Exponentielle – Fonction, suite, variation, somme – Terminale

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