Exponentielle – Équation, limite, démonstration, variation – Terminale

avril 16th, 2020

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Limites, Terminale S

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Exercice N°659 :

Exponentielle, limite, démonstration, variation, terminale, Toraja, Sulawesi

Exercice N°659 :

Équation à résoudre :

Soit P le polynôme défini par
P(x) = x3 + 2x2 − x − 2.

1) Montrer que P(x) = (x − 1)(x2 + 3x + 2), pour tout réel x.

2) Résoudre l’équation P(x) = 0 dans R.

3) En déduire les solutions dans R de l’équation
e3x + 2e2x − ex − 2 = 0.

Restitution organisée de connaissances :

L’objet de cette question est de démontrer que limx→+∞ex/x = +∞.

On suppose connus les résultats suivants :

* La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée.
* e0 = 1.
* Pour tout réel x, on a ex > x.

* Soit deux fonctions v et w définies sur l’intervalle [A ; +∞[, où A est un réel positif :
Si pour tout x de [A ; +∞[,
v(x) ≤ w(x) et si limx→+∞v(x)/x = +∞,
alors limx→+∞u(x)/x = +∞.

Fin des résultats supposés connus.

Soit Φ la fonction définie sur [0 ; +∞[ par
Φ(x) = exx2/2.

4) Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[,
Φ(x) ≥ 0.
5) En déduire que limx→+∞ex/x = +∞.

Autre restitution organisée de connaissances :

On supposera connus les résultats suivants :
Pour tous réels x et y,
* e0 = 1
et
* ex × ey = ex + y.

Fin des résultats connus.

6) Démontrer que pour tout réel x, on a :
e-x = 1/(ex)

7) Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, on a :
(ex)n = enx

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Exercice précédent : Dérivation – Nombre dérivé, polynôme, racine, fraction – Première

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