Exponentielle – Variation, convexité, primitive – Terminale ES

novembre 26th, 2019

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale ES

Tagged with: , , , , , , , , , , , ,

Exercice N°334 :

Exponentielle, variation, convexité, primitive, terminale

Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe C ci-dessous représente une fonction f définie sur R.
La tangente D à la courbe C au point A(0 ; -4) passe par le point
B(2 ; -6).

1) Donner la valeur de f(0).

2) Justifier que f ‘ (0) = -1 (f ‘ désigne la fonction dérivée de f).

On admet qu’il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x,
f(x) = (x + a) ebx.

3) Vérifier que : f ‘ (x) = (bx + ab + 1)ebx.

4) Utiliser les résultats précédents pour calculer les valeurs exactes des réels a et b.

On considère maintenant la fonction f définie pour tout réel x
par
f(x) = (x – 4)e0,5x.

5) Donner l’expression de f ‘ (x).
En déduire le sens de variation de la fonction f sur R.

(Ne pas faire les questions 6) et 7) en première.)

6) Calculer la dérivée seconde de f notée f ‘ ‘ et vérifier que
f ‘ ‘ (x) = 0,25xe0,5x.

7) Prouver que C a un unique point d’inflexion et déterminer ses coordonnées.

On considère la fonction g définie pour tout réel x par
g(x) = f(x) + x + 4.
On admet que la fonction g est croissante sur R.
8) Calculer g(0) et en déduire le signe de g(x).

9) Déterminer la position de la courbe C par rapport à sa tangente T.

(Ne pas faire les questions 10) et 11) en première.)

10) Montrer que la fonction h définie par
h(x) = 2(x – 6)e0,5x
est une primitive de f.

11) Calculer 23 f(x)dx.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Exercice précédent : Exponentielle – Dérivée, variation, TVI, tangente – Terminale ES

Ecris le premier commentaire


Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *