Dérivation – Fonctions, étude classique d’une fonction – Première

novembre 27th, 2012

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première

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Exercice N°042 :

Fonction, dérivation, variation, tangente, équations, première

Exercice N°042 :

On considère la fonction f définie sur R par :

f(x) = 2 – 2(1 – x)/(x2 + 1)

On note Cf sa courbe représentative.

1) Calculer f ‘ (x).
Vérifier que f ‘ (x) = -2(x2 – 2x – 1)/(x2 + 1)2 .

2) Étudier le signe de f ‘ (x) puis dresser le tableau de variations de f.
On ne demande pas les valeurs exactes des extremums mais une valeur arrondie aux centièmes.

3) Déterminer l’équation de la tangente T à Cf au point A d’abscisse 1.

4/5/6) On veut montrer qu’il existe un point B de Cf tel que la tangente à Cf en B soit parallèle à la droite Δ d’équation y = -x :

4) Montrer que le problème revient à résoudre l’équation
x4 + 4x + 3 = 0.

5) Vérifier que x4 + 4x + 3 = (x + 1)2(x2 – 2x + 3).

6) Conclure sur ce qu’on veut montrer en 4/5/6).

7) Construire la courbe Cf dans le repère ci-dessous ainsi que ses tangentes.

8) Résoudre f(x) = 0 et interpréter graphiquement.

9) Déterminer les coordonnées du point d’intersection entre Cf
et la droite D d’équation y = 2,
puis la position relative entre Cf et D. Tracer D.

10) Démontrer que la fonction f est minorée par -1 sur R,
c’est-à-dire que f(x) ≥ -1 pour tout x ∈ R.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Exercice précédent : Dérivation – Fonctions, production de mini-dinosaures – Première

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