Fonctions – Variation, continuité, équation, solution, coût – Terminale

octobre 2nd, 2019

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Exercice N°601 :

fonctions, dérivée, signe, variation, solution unique, terminale

Exercice N°601 :

On considère la fonction f définie sur [1 ; 10] par :
f(x) = 2x2 − 30x + 200 + (50/x).

1) Calculer f ′, la dérivée de f sur [1 ; 10] et montrer que pour tout réel x de cet intervalle :
f ′ (x) = (4x3 − 30x2 − 50)/(x2)

Étude d’une fonction auxiliaire.

2) Étudier le sens de variation de la fonction g définie sur [1 ; 10] par :
g(x) = 4x3 − 30x2 − 50

3) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution sur [1 ; 10]. Donner un encadrement de cette solution au centième.

4) Étudier le signe de g sur [1 ; 10].

5) A l’aide de l’étude menée lors des questions précédentes, étudier les variation de la fonction f sur [1 ; 10].

Application.

Le coût moyen de production d’une entreprise est donné par :
C(x) = 2x2 − 30x + 200 + 50/x,
où x est la quantité produite en tonnes, variant de 1 à 10 tonnes de productions, et C(x) est exprimé en milliers d’euros.

6) Le patron de l’entreprise affirme que le cout moyen minimum de production est inférieur à 95 000 euros. Qu’en pensez-vous ?

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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Exercice précédent : Logarithme Népérien – BAC 2016, dérivée, variation, primitive – Terminale

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