Géométrie Espace – Plans, droite, équations, distance – Terminale

juin 4th, 2021

Category: Géométrie 2D/3D et Repérage, Terminale

Tagged with: , , , , , , , , , , , ,

Exercice de maths de terminale de géométrie 3D, distance, point, droite, espace, plan, équation paramétrique, vecteur normal, directeur.

Exercice N°481 :

Géométrie Espace, plans, droite, équations, distance, terminale

Exercice N°481 :

L’espace est rapporté à un repère orthonormé (i ; j ; k).
On considère la droite D passant par le point A de coordonnées (3 ; -4 ; 1) et dont un vecteur directeur est u(1 ; -3 ; 1).
On considère la droite D ‘ dont une représentation paramétrique est :
{ x = -1 – t
{ y = 2 + t (t ∈ R)
{ z = 1 – t

On admet qu’il existe une unique droite Δ perpendiculaire aux droites D et D ‘. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite Δ et de calculer la distance entre les droites D et D ‘, distance qui sera définie aux questions 8) et 9.

On note H le point d’intersection des droites D et Δ, H ‘ le point d’intersection des droites D ‘ et Δ. On appelle P le plan contenant la droite D et la droite Δ. On admet que le plan P et la droite D ‘ sont sécants en H ‘.

Voici à nouveau la figure :

Géométrie Espace, plans, droite, équations, distance, terminale

On considère le vecteur w de coordonnées (1 ; 0 ; -1).
1) Démontrer que w est un vecteur directeur de la droite Δ.

Soit n le vecteur de coordonnées (3 ; 2 ; 3).
2) Démontrer que le vecteur n est normal au plan P.

3) Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est
3x + 2y + 3z – 4 = 0.

4) Démontrer que le point H ‘ a pour coordonnées (-1 ; 2 ; 1).

5) En déduire une représentation paramétrique de la droite Δ.

6) Déterminer les coordonnées du point H.

7) Calculer la longueur HH ‘.

Questions “trace de recherche” :

L’objectif de cette question est de montrer que, pour tout point M appartenant à la droite D et tout point M ‘ appartenant à D ‘, MM ‘ ≥ HH ‘.
8) Montrer que MM ‘ peut s’écrire comme la somme de HH ‘ et d’un vecteur orthogonal à HH ‘.

9) En déduire que ||MM’||2 ≥ ||HH’||2 et conclure.

Petite conclusion : La longueur HH ‘ réalise donc le minimum des distances entre un point de D et un point de D ‘. On l’appelle donc la distance entre les droites D et D ‘.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Question 1 : Clic droit vers le corrigé

Pour avoir la suite du corrigé (57 centimes d’euros),
clique ici sur le bouton ci-dessous :





Pour avoir tous les corrigés actuels de ce chapitre (De 77 centimes à 1.97 euros selon le nombre d’exercices),
clique ici sur le bouton ci-dessous :





77 centimes pour 2 exercices – 97 cts pour 3 – 1.17€ pour 4 – 1.37€ pour 5 – 1.57€ pour 6 – 1.67€ pour 7 – 1.77€ pour 8 – 1.87€ pour 9 et 1.97€ pour 10 et +.

Mots-clés de l’exercice : distance, point, droite, espace.

Exercice précédent : Géométrie Espace – Produit scalaire, paramétrique – Terminale

Ecris le premier commentaire


Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

FrenchMaths.com

GRATUIT
VOIR