Exercice de maths de terminale de logarithme népérien, équation, inéquation, solution unique, convexité, position relative, tangente.
Exercice N°416 :
1) Résoudre l’équation suivante dans R :
ln (x2 – 2x – 3) = ln x.
2) Résoudre l’inéquation suivante dans R :
e(3x – 1) ≤ 2.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 9] par :
f(x) = 2x – 4ln x.
On désigne par (C) sa courbe représentative.
3) Étudier le sens de variation de f sur l’intervalle [1 ; 9] puis dresser son tableau de variation.
4) Calculer f ‘ ‘(x) puis étudier la convexité de f.
5) Déterminer l’équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse e.
6) En regardant le graphique, préciser la position relative de la courbe (C) par rapport à la tangente (T).
7) En se basant sur le graphique et sur la position relative trouvée, puis en comparant avec de signe de f(x) – y (de la tangente), en déduire que
∀ x ∈ [1 ; 9], x – e×ln x ≥ 0.
8) Prouver que l’équation f(x) = 4 a une solution unique α
dans l’intervalle [2 ; 9].
9) Donner une valeur approchée de α à 10-1 près.
Bon courage,
Sylvain Jeuland
Mots-clés de l’exercice : logarithme népérien, convexité, terminale.
Exercice précédent : Logarithme Népérien – Dérivée, variation, intégrale – Terminale
