Logarithme Népérien – Exponentielle, fonction, variation – Terminale S

janvier 6th, 2020

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale S

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Exercice N°357 :

Logarithme népérien, exponentielle, fonction, variation, terminale, Makale, Toraja

Exercice N°357 :

f est la fonction définie sur R par :
f(x) = x + 2 − ln(1 + e2x)

C est sa courbe représentative dans un repère orthogonal
(O ; ->i ; ->j) avec 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée.

Étude d’une fonction auxiliaire :

On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par :
g(x) = ex + e−x.

1) Calculer la limite de g en +∞.

2) Étudier les variations de g sur [0 ; +∞[, puis établir le tableau de variation de g.

3) Prouver que l’équation g(x) = e2 admet une unique solution, notée α,
sur [0 ; +∞[. Donner un encadrement d’amplitude 10−2, de α.

Étude de la fonction f et de sa courbe C :

4) Déterminer la limite en −∞ de ln(1 + e2x).

5) En déduire la limite de f en −∞.

6) Montrer que, pour tout réel x :
f(x) = 2 − x − ln(1 + e−2x)

7) En déduire la limite de f en +∞.

8) Montrer que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie pour C.

9) Prouver que, pour tout réel x,
f ′ (x) = (1 − e2x)/(1 + e2x)
où f ′ est la fonction dérivée de f.

10) Étudier les variations de la fonction f.

11) Prouver que f(α) = 0.

12) Tracer C .

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Exercice précédent : Logarithme Népérien – Fonction, distance, algorithme – Terminale S

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