Logarithme Népérien – Fonction, variation, distance – Terminale

avril 9th, 2019

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale

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Exercice N°353 :

Fonctions, équations, développement, seconde, exercice, logarithme népérien, variation, Fort Rotterdam, Makassar

Exercice N°353 :

Soit u la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
u(x) = x2 − 2 + ln x.

1) Étudier les variations de u sur ]0 ; +∞[ et préciser ses limites en 0 et en +∞.

2) Montrer que l’équation u(x) = 0 admet une solution unique sur
]0 ; +∞[. On note α cette solution.

3) A l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 de α.

4) Déterminer le signe de u(x) suivant les valeurs de x.

5) Montrer l’égalité :
ln α = 2 − α2.

On considère la fonction f définie et d´erivable sur ]0 ; +∞[, dont l’expression est : f(x) = x2 + (2 − ln x)2.
On note f ‘ la fonction dérivée de f sur ]0 ; +∞[.

6) Exprimer, pour tout x de ]0 ; +∞[,
f ′ (x) en fonction de u(x).

7) En déduire les variations de f sur ]0 ; +∞[.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, ->i, ->j), on note :
Γ la courbe représentative de la fonction ln (logarithme népérien) ;
A le point de coordonnées (0 ; 2) ;
M le point de Γ d’abscisse x appartenant à ]0 ; +∞[.

8) Montrer que la distance AM est donnée par
AM = √f(x).

Soit g la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par
g(x) = √f(x).

9) Montrer que les fonctions f et g ont les mêmes variations sur
]0 ; +∞[.

10) Montrer que la distance AM est minimale en un point de Γ, noté P, dont on précisera les coordonnées.

11) Montrer que AP = α√(1 + α2).

12) La droite (AP) est-elle perpendiculaire à la tangente à Γ en P ?

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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