Logarithme népérien – Limites, tangentes, polynômes – Terminale

août 9th, 2019

Category: Exponentielle et Logarithme, Terminale S

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Exercice N°631 :

Logarithme népérien, limites, tangentes, terminale

Exercice N°631 :

Soit f la fonction définie sur ]1 ; +∞[ par :
f(x) = ln(x) – ( 1/ln(x) ).

On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal d’origine O et Γ la courbe représentative de la fonction ln.

1) Étudier les variations de f et ses limites en 1 et +∞.

2) Déterminer lim[x → +∞]( f(x) – ln(x) ).

3) Que peut-on déduire des deux premiers résultats pour les courbes C et Γ ?

On cherche à déterminer si les tangentes à C contiennent le point O.
Soit a ∈ ]1 ; +∞[.
4) Démontrer que la tangente Ta à C au point d’abscisse a contient O si et seulement si f(a) – af ‘ (a) = 0.

On considère alors la fonction g définie sur ]1 ; +∞[ par :
g(x) = f(x) – xf ‘ (x).

5) Montrer que les équations
g(x) = 0
et
( ln(x) )3 – ( ln(x) )2 – ln(x) – 1 = 0
ont les mêmes solutions dans ]1 ; +∞[.

6) Après avoir étudié les variations de la fonction
u : t → t3 – t2 – t – 1,
montrer que la fonction u s’annule une et une seule fois sur R.

7) En déduire l’existence d’une tangente unique à la courbe C passant par O.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Exercice précédent : Trigonométrie – Équations, sinus, cosinus, carré – Première

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