Primitives – Logarithme, TVI, suites, intégrale – Terminale S

janvier 27th, 2020

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Limites, Suites, Terminale S

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Exercice N°458 :

Primitives, logarithme, TVI, suites, intégrale, terminale

Exercice N°458 :

On considère la fonction g définie sur [1 ; +∞[ par :
g(x) = ln(2x) + 1 − x.

Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes.
1) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet sur [1 ; +∞[ une unique solution notée α.
Donner un encadrement au centième de α.

2) Démontrer que ln(2α) + 1 = α.

Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n,
un+1 = ln(2un) + 1.

On désigne par Γ la courbe d’équation y = ln(2x) + 1 dans un repère orthonormal (O ; i ; j). Cette courbe est celle du haut dans le graphique des deux courbes.

3) En utilisant la courbe Γ, construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite.

4) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,
1 ≤ un ≤ un+1 ≤ 3.

5) En déduire que la suite (un) converge vers une limite l ∈ [1 ; 3].

6) Démontrer que l = α.

On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par :
f(x) = (x − 1)e1−x.

On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O, i, j). Cette courbe est celle du bas sur le graphique donné en début d’exercice.

Pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1, on pose :
F(x) = [de 1 à x] f(t)dt = [de 1 à x] (t − 1)e1−tdt.

7) Démontrer que la fonction F est dérivable et croissante sur [1 ; +∞[.

8) Montrer que la fonction x → −x × e1−x est une primitive de f sur [1 ; +∞[, en déduire que, pour tout réel x ∈ [1 ; ++∞[,
F(x) = −x × e1−x + 1.

9) Démontrer que sur [1 ; +∞[, l’équation
« F(x) = 1/2 » est équivalente à l’équation « ln(2x) + 1 = x ».

Soit un réel a > 1. On considère la partie Da du plan limité par la
courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = a.

10) Déterminer a tel que l’aire, en unité d’aire, de Da soit égale à 1/2 et colorier Da sur le graphique pour cette valeur de a.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Exercice précédent : Primitives – Intégrale, fonction, somme, encadrement – Terminale S

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