Probabilités – Conditionnelles, arbre, loi, espérance – Première

janvier 27th, 2020

Category: Première, Probabilités, Lois, Fluctuations

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Exercice N°162 :

Probabilités, conditionnelles, arbre, loi, espérance, terminale

Exercice N°162 :

On dispose de deux urnes U1 et U2. L’urne U1 contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. L’urne U2 contient 4 boules blanches et 6 boules noires.
Un jeu consiste à tirer un jeton de l’urne U1, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l’urne U2 le nombre de boules indiqué par le jeton.
On considère les évènements suivants :
J1 : le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 1.
J2 : le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 2.
J3 : le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 3.
J4 : le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 4.
B : toutes les boules tirées de l’urne U2 sont blanches.
On donnera tous les résultats sous la forme d’une fraction irréductible sauf dans la question 5) où une valeur arrondie à 10-2 près.

1) Calculer P(B sachant J1), probabilité de l’évènement B sachant que l’évènement J1 est réalisé.
Calculer de même la probabilité P(B sachant J2).

On admet dans la suite les résultats suivants :
P(B sachant J3) = 1/30
et P(B sachant J4) = 1/210.

2) Montrer que P(B), probabilité de l’évènement B, vaut1/7.
On pourra s’aider d’un arbre de probabilités.

3) On dit à un joueur que toutes les boules qu’il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ?

On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note N la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.

4) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire N ?

5) Quelle est l’espérance et la variance de N ?

6) Calculer la probabilité de l’évènement (N = 3).

On décide de faire un jeu d’argent. Un joueur doit payer 10 euros pour rentrer dans la partie. La partie se déroule comme expliqué dans l’introduction.
* Si le joueur termine avec 4 boules blanches, il gagne 1000 euros.
* S’il termine avec 3 boules blanches exactement (sans noire), il gagne 100 euros.
* S’il termine avec 2 boules blanches exactement (sans noire), il gagne 50 euros.
* S’il termine avec 1 boules blanches exactement (sans noire), il gagne 20 euros.

7) Ce jeu est-il favorable au joueur ?
(On pourra introduire la variable aléatoire X égale au gain algébrique du joueur.)

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Question 1 : Clic droit vers le corrigé

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Exercice précédent : Second degré – Fonction, courbe, variations, signes – Seconde

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