Probabilités – Loi binomiale, variables aléatoire, questions – Terminale

mars 1st, 2020

Category: Probabilités, Lois, Fluctuations, Terminale

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Exercice N°021 :

Probabilités, loi binomiale, identique, indépendante, terminale, Ottawa, Canada

Exercice N°021 :

Un QCM (questionnaire à choix multiples) est composé de cinq questions à choix multiples numérotées de 1 à 5. Pour chacune d’elle, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte.

Partie A :

Un candidat répond à ce QCM, en cochant, au hasard et de façon indépendante, chacun des 5 questions. On décide de donner au candidat un point par réponse exacte.
Soit X la variable aléatoire associant au réponse du candidat la note obtenue sur 5.

1) Justifier que X suit la loi binomiale et en préciser les paramètres.

2) Quelle est la probabilité qu’un candidat obtienne la note maximale ?

3) Établir la loi de probabilité de X en complétant le tableau ci-dessous en donnant les valeurs exactes, puis arrondies au millième :

Probabilités - Des candidats répondent aux questions - Première

4) Quelle est la probabilité qu’un candidat obtienne plus que la moyenne ?

5) Quelle note le candidat peut-il espérer obtenir (c’est à dire quelle note moyenne obtiendrait-il s’il remplissait au hasard un très grand nombre de QCM) ?

Partie B :
On suppose que n’ candidats (n’ entier non nul) répondent à ce QCM, et que tous le font au hasard, indépendamment des autres.

6) Exprimer en fonction de n’ la probabilité pn’ qu’au moins un candidat obtienne la note 5.

7) Pour quelles valeurs de n’ cet événement se produira-t-il avec une probabilité supérieure à 0,99 ?

Partie C :

Pour pénaliser les candidats qui ne comptent que sur le hasard, on décide de toujours accorder 1 point par réponse exacte, mais cette fois d’enlever 0,2 point par réponse inexacte.
Soit Y la nouvelle variable aléatoire associant aux réponses du candidats la note obtenue sur 5.

8) Prouver qu’avec cette nouvelle règle, la variable aléatoire Y s’exprime par
Y = 1.2X – 1.

9) En déduire la probabilité qu’un candidat obtienne une note négative, une note au dessus de la moyenne.

10) Quel note le candidat peut-il espérer obtenir ? L’objectif vous parait-il atteint ?

Bon courage,
Sylvain Jeuland

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