Maths de terminale : exercice de gain algébrique avec probabilités conditionnelles. Arbre, sachant, loi de probabilité, épreuves successives.
Exercice N°365 :
Exercice N°365 :
Un chalutier se rend sur sa zone de pêche. La probabilité qu’un banc de poissons soit sur cette zone est de 0,7. Le chalutier est équipé d’un sonar pour détecter la présence d’un banc de poissons. Si un banc est présent, le sonar indique la présence du banc dans 80 % des cas.
S’il n’y pas de banc de poissons dans la zone de pêche, le sonar indique néanmoins la présence d’un banc dans 5 % des cas. On note :
– B l’évènement : “il y a un banc de poissons sur zone” et ¬B l’évènement contraire de B,
– S l’évènement : “le sonar indique l’existence d’un banc de poissons” et ¬S l’évènement contraire de S.
1) Donner la probabilité qu’un banc de poisson ne soit pas sur la zone de pêche puis donner pB(S) et décrire en français ce que représente cette probabilité.
2) Modéliser la situation par un arbre pondéré.
3) Décrire en français l’événement B ⋂ S et calculer sa probabilité.
4) Montrer que la probabilité que le sonar indique la présence d’un banc de poissons (réel ou fictif) est 0,575.
5) Lorsque le sonar détecte un banc de poisson, quelle est la probabilité qu’il y en ait réellement un ?
6) Quelle est la probabilité que le sonar détecte un banc de poisson ou qu’il y ait un banc de poisson sur la zone de pêche ?
Lors d’une sortie en mer, le pêcheur se trouve toujours dans l’une des trois situations suivantes :
Situation 1 : Un banc de poissons est présent sur la zone et le sonar le détecte. Le filet est lancé et la pêche est fructueuse. Dans ce cas le pêcheur gagne 2000 euros.
Situation 2 : Il n’y a pas de banc de poissons sur zone mais le sonar en signale un. Le filet est lancé pour rien. Dans ce cas le pêcheur perd 500 euros.
Situation 3 : le sonar ne détecte aucun banc de poisson (qu’il y en ait ou pas). Le filet n’est pas lancé et le bateau rentre au port à vide. Dans ce cas le pêcheur perd 300 euros.
On note G La variable aléatoire égale au gain algébrique en euros réalisé pendant une sortie.
7) Donner la loi de probabilité de G.
8) Le pêcheur effectue de nombreuses sorties. Quel gain par sortie peut-il espérer avoir ?
Les questions suivantes 9-10-11) sont de Terminale :
Le pêcheur prévoit d’effectuer 6 sorties successives (considérées comme indépendantes) sur la zone de pêche.
9) Déterminer la probabilité que le sonar indique un banc de poisson lors d’exactement 3 sorties sur les 6.
10) Soit n un nombre entier naturel. Montrer que la probabilité que, lors de n sorties indépendantes, le sonar indique au moins un banc de poisson, est de
1 − 0,425n.
11) Quelle est la limite de cette probabilité en lorsque n tend vers l’infini ? Comment l’interpréter ?
Bon courage,
Sylvain Jeuland
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Mots-clés de l’exercice : exercice, gain algébrique, probabilités.
Exercice précédent : Probabilités – Intersection, sachant, tirage, remise – Terminale
