Suites – Fonction, limite, récurrence et algorithme – Terminale S

septembre 9th, 2019

Category: Algorithmique, Fonctions, Limites, Suites, Terminale S

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Exercice N°168 :

Suites, fonction, limite, récurrence et algorithme, terminale

L’objet de cet exercice est d’étudier la suite (un) définie sur N par
u0 = 3
et pour tout entier naturel n,
un+1 = 1/2(un + 7/un) (⋆)
On pourra utiliser sans démonstration le fait que pour tout entier naturel n,
un > 0.

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :
f(x) = 1/2(x + 7/x) = 1/2(x² + 7)/x.

1) Établir le tableau de variation de f.

2) Démontrer par récurrence que, pour tout n entier :
√7 < un+1 < un.
Préciser alors le sens de variation de la suite (un).

3) Montrer que la suite (un) est convergente vers une limite l.

On déduit de la relation (*) que la limite l de cette suite est
telle que
l = 1/2(l + 7/l).

4) Déterminer l.

5) Démontrer que pour tout entier naturel n,
un+1 − √7 = 1/2(un − √7)²/un.

On définit la suite (dn) par :
d0 = 1
et pour tout entier naturel n,
dn+1 = 1/2dn2

6) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
un− √7 ≤ dn.

Si, dans l’algorithme du haut de l’exercice, on entre la valeur 9, l’algorithme affiche le nombre 5.
7) Quelle inégalité peut-on en déduire pour d5 ?

8) Justifier que u5 est une valeur approchée de √7 à 10−9 près.

Bon courage,
Sylvain Jeuland

Exercice précédent : Probabilités – Arbres, conditionnelles, événements – Terminale S

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