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Tout le corrigé :
1) On voit sur le graphique que f(0) = 2.
On peut remplacer x par 0 dans la fonction. Et cela donnera 2.
f(0) = a×03 + b×02 + c×0 + d = 2 soit d = 2.
La courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse 0 (car parallèle à l’axe des abscisses), sa pente est donc de 0, donc f ‘ (0) = 0.
La dérivée de ax3 + bx2 + cx + 2 est
f ‘ (x) = 3ax2 + 2bx + c.
Donc f ‘ (0) = 3a×02 + 2b×0 + c = 0.
Soit c = 0.
On obtient donc f(x) = ax3 + bx2 + 2.
2) f(3) = 0
soit a×33 + b×32 + 2 = 0
soit 27a + 9b + 2 = 0.
Cela nous donne une égalité pour l’instant.
f ‘ (3) = 0 car la courbe admet une tangente horizontale en B d’abscisse x = 3 (parallèle à l’axe des abscisses).
Du coup, en reprenant l’expression de f ‘ (x) plus haut,
f ‘ (3) = 3a×32 + 2b×3 + c = 0.
Soit 27a + 6b + 0 = 0 qui est une seconde égalité.
Nous obtenons un système avec les deux égalités :
{ 27a + 9b + 2 = 0
{ 27a + 6b = 0
soit (comme nous avons 27a et 27a, isolons les) :
{ 27a = -9b – 2
{ 27a = -6b
soit (27a = 27a donc les membres de droite sont égaux)
{ -9b – 2 = -6b
{ 27a = -6b (je conserve l’une des deux lignes)
On résout séparément :
-9b – 2 = -6b
soit -9b + 6b = 2
soit -3b = 2
soit b = –2/3.
Reprenons le système équivalent au précédent système avec la valeur de b :
{ b = –2/3
{ 27a = -6b
soit
{ b = –2/3
{ 27a = -6*(-2/3)
soit
{ b = –2/3
{ 27a = +12/3
soit
{ b = –2/3
{ 27a = 4
soit
{ b = –2/3
{ a = 4/27.
Donc f(x) = (4/27)×x3 – (2/3)×x2 + 2.
3) f(1) = (4/27)×13 – (2/3)×12 + 2
= (4/27) – (2/3) + 2
= 4/27 – 18/27 + 54/27
= 40/27.
Le point d’abscisse 1 de la courbe a pour coordonnées
(1 ; f(1)) soit (1 ; 40/27).
4) Le coefficient d’une tangente en un point d’une courbe est f ‘(a) avec a l’abscisse du point.
En reprenant f ‘ (x) = 3ax2 + 2bx + c
= 3×(4/27)x2 + 2×(-2/3)x + 0
= (4/9)x2 – (4/3)x.
f ‘ (1) = 4/9 – 4/3
= 4/9 – 12/9
= –8/9.
Le coefficient directeur de cette tangente est donc –8/9.
Bonne compréhension,
Sylvain
