Corrigé

avril 6th, 2018

Category: Corrigé et Astuces

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Tout le corrigé :

Quand on calcule un éventuel nombre dérivé f ‘ (a) en x = a, on cherche à trouver [ f(a+h) – f(a) ]/[a+h – a] en fonction de h.
Puis on tend ce h vers 0 pour arriver à une limite.
Si tu trouves une constante, tu obtiens que la fonction est dérivable en x = a et que ce nombre est f ‘ (a).

1)
Détermination d'un nombre dérivé par le calcul

Donc le taux de variation [ f(a+h) – f(a) ]/[a+h – a] admet une limite finie en a = 2 donc le nombre f ‘ (2) existe et vaut -1.
Donc f est dérivable en 2 et f ‘ (2) = -1.

Dérivation, nombre dérivé, polynôme, racine, fraction, première

Donc le coefficient de la tangente à Cf en a = 2 est égal à -1.

2)
Nombre dérivé avec fonction racine carrée
J’ai oublié le « h » devant la flèche « →0 ».

Donc le taux de variation [ f(a+h) – f(a) ]/[a+h – a] admet une limite finie en a = 4 donc le nombre f ‘ (4) existe et vaut 1/2.
Donc f est dérivable en 4 et f ‘ (4) = 1/2.

Dérivation, nombre dérivé, polynôme, racine, fraction, première

Donc le coefficient de la tangente à Cf en a = 4 est égal à 1/2.

3)
Calcul d'un nombre dérivé avec fonction affine

J’ai oublié le « h » devant la flèche « →0 ».

Donc le taux de variation [ f(a+h) – f(a) ]/[a+h – a] admet une limite finie en a = 3 donc le nombre f ‘ (3) existe et vaut –1/3.
Donc f est dérivable en 3 et f ‘ (3) = –1/3.

Dérivation, nombre dérivé, polynôme, racine, fraction, première

Donc le coefficient de la tangente à Cf en a = 3 est égal à –1/3. Comme notre fonction est affine, la tangente est la droite elle-même.

4) En a = -2, on a x + 2 = 0, donc le contenu de la valeur absolue est nul.
Or la fonction « valeur absolue » n’est pas dérivable en 0.
Donc la valeur absolue de x + 2 n’est pas dérivable en -2.
Il n’y a donc pas de nombre dérivé de |x + 2| en a = -2.

Dérivation, nombre dérivé, polynôme, racine, fraction, première

A gauche, on voit la courbe de la fonction représentant |x + 2|.
A droite, celle de |x].
En a = -2, sur la courbe de gauche, on est sur la « pointe » des deux demi-droites, il n’y a pas de tangente qui suit la courbe en a = -2.

Bonne compréhension,
laisse un commentaire en cas de problème,
Sylvain Jeuland

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